Fall durch die Erde

han123 · 27. März 2015

Hallo,

ich hatte grade auf Spiegel.de einen Artikel gelesen, wie lange es für einen Apfel dauern würde, bis der die Erde durch ein Loch komplett durchqueren würde.

Jetzt stell ich mir grade die Frage, wie das gehen soll? Mal abgesehen davon, dass es nicht so einfach wäre, ein über 12700 km langes Loch zu bohren, so denke ich mir als Laie, dass der Fall doch irgendwo in der Mitte der Erde wohl enden würde, weil die Schwerkraft den Apfel doch dort bremsen würde und er dann zum Stehen kommen würde.

Oder habe ich da einen Denkfehler?

miac · 27. März 2015

Der Apfel hat im Erdmittelpunkt eine hohe kinetische Energie (sprich Geschwindigkeit), die dann beim "Aufstieg" wieder abgebaut wird.

Green Mamba · 27. März 2015

Im Mittelpunkt herrscht zudem Schwerelosigkeit, was sollte da also bremsen? Wenn der Apfel auf der anderen Seite ankommt, könntest du ihn einfach auffangen. In diesem Beispiel wird der Luftwiderstand ja nicht berücksichtigt.

SaarL · 27. März 2015

Die Schwerkraft(sprich auch die Fallbeschleunigung) nach unten nimmt doch ab(oder ggf. auch zu, falls amn auch eine Schicht mit hoher Dichte kommt?)?...da dann auch von "oben" Masse mit deren Anziehung wirkt (+die Masse von unten geringer wird).
In der "Mitte" herrscht in etwa Gleichgewicht der Kräfte (die Erde ist ja keine Kugel mit gleichmäßiger Masseverteilung).

<- oder ist mein Denkansatz komplett daneben?

miac · 27. März 2015

Die Schwerkraft (wie alle Kräfte) sorgt für eine Beschleunigung des Apfels. D.h. die Momentangeschwindigkeit des Apfels wird größer, solange die Kraft wirkt. Im Erdmittelpunkt bleibt die Geschwindigkeit also für einen kurzen Moment gleich, da keine Kräfte mehr auf den Apfel wirken (bzw. die sind nach allen Richtungen gleich groß).

Generalflux · 27. März 2015

Die Frage ist doch sowieso utopisch, da man niemals einen vollständig luftleeren Raum erzeugen kann und das tiefste jemals gegrabene Loch nichtmal ein tausendstel des Erddurchmessers entspricht.
*klick*

sudfaisl · 27. März 2015

Es ist ja nur ein Gedankenexperiment, da kann man die Unzulänglichkeiten der Realität ruhig ignorieren.
Dass man niemals ein Loch mittig durch die Erde bohren kann, sollte niemanden überraschen.
Es geht hier ja nur um "was wäre wenn"...

(oder ggf. auch zu, falls amn auch eine Schicht mit hoher Dichte kommt?)

Nein. Wichtig ist die Masse, die "unter" dir ist. Und da ist die Dichte egal. Während des Fallens wird die Masse "unter" dir kleiner, egal ob du gerade durch dichtereiches oder dichteärmeres Gestein fällst. Ich könnte wetten, dass dieser Fall auch mal auf xkcd besprochen wurde, kann es aber nicht mehr finden. :/

Dein Denkansatz ist aber wie schon besprochen richtig. Im Mittelpunkt (gehen wir einfach mal davon aus, dass die Erde eine perfekte Kugel mit gleichverteilter Dichte ist), bist du schwerelos, da von allen Seiten die gleiche Kraft auf dich wirkt und sich damit die Kraftvektoren gegenseitig aufheben.

Wen solche Gedankenexperimente interessieren, sollte sich unbedingt mal xkcd anschauen, oder wer Deutsch bevorzugt, das Buch "What if...?" von Randall Munroe (gleicher Autor).

miac · 27. März 2015

sudfaisl schrieb:
Nein. Wichtig ist die Masse, die "unter" dir ist.

Nee, das stimmt so nicht.

sudfaisl schrieb:
Und da ist die Dichte egal.

Genau darum geht es im erwähnten Spiegel Artikel. Durch die Dichteunterschiede sollst Du in 38 Minuten durch die Erde sein, statt in 42.

sudfaisl · 27. März 2015

Mooooment. Es ging bei SaarLs Frage darum, ob die Fallbeschleunigung während des Fallens zunehmen kann. ~~Tut sie nicht, siehe Abbildung 1 betreffender Arbeit: http://arxiv.org/pdf/1308.1342v1.pdf~~ Edit: Ich glaub, ich habe das Diagramm grad falsch interpretiert. Dann scheint es doch so zu sein.

Im Spiegel-Artikel geht es darum, dass die Erde keine gleichmäßige Dichte hat und dass man deswegen schneller durch die Erde fällt als bisher angenommen, wenn man von gleichbleibender Dichte ausgeht.

miac · 27. März 2015

Hmm, ist aber eigentlich der gleiche Fall.

Durch die höhere Dichte ist die Massenanziehung größer. Du fliegst also schneller darauf zu. Nach dem "Verlassen" des Gebietes bremst Du stärker ab. Aber den Zeitvorteil kann dir keiner mehr nehmen.

sudfaisl · 27. März 2015

Also offensichtlich habe ich einen Fehler gemacht, da ich die Richtigung der Abszisse versehentlich falsch herum interpretiert habe. Dem Diagramm nach startet man mit einer Fallbeschleunigung von 9.81m/s² an der Oberfläche und erreicht sein Maximum mit ~10,7m/s² nach 3000km des Fallens.

Durch die höhere Dichte ist die Massenanziehung größer.

Entscheidend ist vielmehr der Abstand zur Masse, da gilt a=G*m/r², also Beschleunigung=Gravitationskonstante*Masse/Abstandsquadrat
Wenn du an der Oberfläche stehst, wirkt der dichtereichere Erdkern auch auf dich, jedoch bist du von ihm weit entfernt. Beim Fallen kommst du ihm näher, wodurch der Abstand sinkt und damit die Beschleunigung größer wird. Gleichzeitig bringst du auch Masse "über" dich, was eine Kraft in die Gegenrichtung bewirkt; wohl aber nicht im gleichen Maße (da das Gros der Masse offensichtlich in tieferen Schichten auf dich wartet).

Ich denke so wird ein Schuh drauß. Puh, ... mea maxima culpa.

Onkelhitman · 27. März 2015

Es ist ja nur ein Gedankenexperiment, da kann man die Unzulänglichkeiten der Realität ruhig ignorieren.
Dass man niemals ein Loch mittig durch die Erde bohren kann, sollte niemanden überraschen.
Es geht hier ja nur um "was wäre wenn"...

Das sehe ich auch so. Es ist ein "Was wäre wenn..." Szenario.

Wenn wir also davon ausgehen, dass der Apfel nach unten fällt, so fällt er erst einmal auf den Erdmittelpunkt zu. Bis dahin beschleunigt er, da die Gravitation ihn in den Mittelpunkt zieht. Wenn aber der Apfel dann den Mittelpunkt überschritten hätte, würde wiederum die Gravitation ihn zum Mittelpunkt ziehen. Die Erde hält auch durch die Masse zusammen. Das hieße wiederum, der Apfel würde erst gar nicht auf der anderen Seite erscheinen, weil er wieder zur Mitte gezogen würde. Da wir von einem Loch im Material, ohne Reibungsverluste und Luftwiderstand rechnen, ist die Dichte eigentlich egal. Immerhin ändert die Dichte des Materials nicht die Dichte des Apfels oder behindert diesen. Was sich jedoch ändert ist auch das Gewicht des Apfels in der Schwerelosigkeit.

Wenn ich den Apfel einen Meter vom Boden loslasse, und er fällt, dann würde er auf der anderen Seite auch einen Meter weit rauskommen. So wie ein Newton-Pendel, jedoch ohne Verluste. Die Frage ist, ob die Schwerelosigkeit in der Mitte der Erde einen Effekt hätte.

sudfaisl · 27. März 2015

Das hieße wiederum, der Apfel würde erst gar nicht auf der anderen Seite erscheinen, weil er wieder zur Mitte gezogen würde.

Wenn ich den Apfel einen Meter vom Boden loslasse, und er fällt, dann würde er auf der anderen Seite auch einen Meter weit rauskommen.

???

Also, angenommen wir arbeiten reibungsfrei und die Erde ist eine Kugel, dann stimmt Aussage 2.

Wenn ich den Apfel einen Meter vom Boden loslasse, und er fällt, dann würde er auf der anderen Seite auch einen Meter weit rauskommen.

Da der Apfel den Mittelpunkt der Erde mit 8km/s passiert, befindet er sich quasi nur ein Unendlichstel (

) in der Schwerelosigkeit. Was soll passieren?

Da wir von einem Loch im Material, ohne Reibungsverluste und Luftwiderstand rechnen, ist die Dichte eigentlich egal.

Nein, ganz egal kann die Dichte nicht sein, sonst wäre die Fallzeit jetzt unter Betrachtung der Dichte nicht auf 38 statt 42 Minuten korrigiert wurden

Nai · 28. März 2015

Wenn du an der Oberfläche stehst, wirkt der dichtereichere Erdkern auch auf dich, jedoch bist du von ihm weit entfernt. Beim Fallen kommst du ihm näher, wodurch der Abstand sinkt und damit die Beschleunigung größer wird. Gleichzeitig bringst du auch Masse "über" dich, was eine Kraft in die Gegenrichtung bewirkt; wohl aber nicht im gleichen Maße (da das Gros der Masse offensichtlich in tieferen Schichten auf dich wartet).

Das ist etwas falsch:
-Außerhalb einer Kugel verhält sich gemäß des Gravitationsgesetzes die Kugel so als ob ihre Masse in ihrem Mittelpunkt konzentriert ist. Dies ist auch gültig, wenn die Dichte nicht komplett gleich sondern nur kugelsymmetrisch verteilt ist.
-Innerhalb einer Hohlkugel hebt sich die Gravitation komplett auf.
-> In einer Kugel verhält sich die Gravitation so, als ob diejenigen Schichten, welche sich weiter als der Betrachtungspunkt vom Mittelpunkt entfernt befinden, nicht existieren würden.

Edit:
Habe eben Google gefragt und das meint dass das ganze Shell-Theorem heißt:
http://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem

sudfaisl · 28. März 2015

Wieso steigt dann die Beschleunigung während des Fallens (siehe http://arxiv.org/pdf/1308.1342v1.pdf, Fig. 1)? Stehe grad etwas aufm Schlauch. Danke jedenfalls fuer den Link.

Ochse · 28. März 2015

Aus dem selben Grund weshalb die Beschleunigung zunimmt je näher man sich an der Erde befindet.
Die fallende Kugel nähert sich im erdinneren Bereichen hoher Dichte und beschleunigt schneller ...
Die Dichtezunahme muss dazu die Abnahme der Beschleunigung durch schon überwundene Erdschichten überkompensieren, würde ich vermuten.

Nai · 28. März 2015

Ich nehme an, dass es daran liegt, dass die Erde *eigentlich* ein Ellipsoid mit nicht kugelsymmetrischer Masseverteilung ist, wodurch die so eben genannten Formeln nur näherungsweise gültig sind. Bin mir aber nicht 100 \% sicher. Das Paper scheint dazu zu schweigen. Hab es allerdings nur ausschnittsweise überflogen.

sudfaisl · 28. März 2015

Wenn ich Nais Beitrag richtig auffasse, stelle ich es mir so vor:

a) Wenn man auf der Kugel steht, ist es so, als wäre die Masse im Zentrum vereint.
b) Wenn ich durch eine Kugel falle, wirken diejenigen Schalen der Kugel ``die sich weiter als der Betrachtungspunkt vom Mittelpunkt entfernt befinden`` (sry, ich hab keine korrekten Anführungszeichen auf meiner Tastatur) nicht mehr bei der Gravitation mit ein. Man kann sich die bereits passierten Schalen also wegdenken. Im Prinzip wäre es dann nichts anderes, als stünde ich auf der Oberfläche einer immer kleiner werdenden Kugel. Wie gesagt, ich gehe von Nais Beitrag aus, aus diesem ergibt sich bei mir die Unverständlichkeit der steigenden Fallbeschleunigung (wobei das Verständnisproblem sicherlich auf meiner Seite zu suchen ist

)
c) Wenn die weiter entfernten Schalen nicht mehr für die Betrachtung zählen, dann wird die Masse unter mir ja immer kleiner. Demzufolge müsste die Fallbeschleunigung ja geringer werden, es sei denn sie wird durch den geringer werdenden Abstand zum Mittelpunkt größer.
Dann sind wir aber an der gleichen Stelle, was ich oben schon geschrieben habe:

Wenn du an der Oberfläche stehst, wirkt der dichtereichere Erdkern auch auf dich, jedoch bist du von ihm weit entfernt. Beim Fallen kommst du ihm näher, wodurch der Abstand sinkt und damit die Beschleunigung größer wird.

... was anscheinend nicht korrekt sein soll.

Aber lassen wir das. Ich werd mir bei Gelegenheit für mich noch mal Gedanken machen.
Einige interessante Ansätze wurden hier ja schon beschrieben und im Internet lassen sich einige Artikel zu dem Problem finden. Vielleicht lässt sich da eine Essenz draus gewinnen.

moshimoshi · 28. März 2015

Dass man niemals ein Loch mittig durch die Erde bohren kann, sollte niemanden überraschen.

Man kann es schon, man darf es halt nicht.
Unmöglich ist das nicht. Sondern eher nicht logisch wieso das jemand jemals tun würde außer der Welt zu schaden.
Die Bohrung würde dann eher in ner Treppenbohrung erfolgen und am Ende das röhr zusammengeschraubt auf den jeweiligen stufen oder ebenen

Ochse · 28. März 2015

@sudfaisl
Stell dir das Vakuum als Teil der Erde mit sehr geringer Dichte vor, da gibts ja auch bei Annäherung an die Erde eine steigende Beschleunigung bis zur Erdoberfläche, obwohl man Schalen des Vakuums hinter sich hat.

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