Hab jetzt mal versucht einen Überblick zu gewinnen, ist mir aber leider nicht gelungen. Stückwerk gebe ich trotzdem mal:
Es obliegt der Krankenkasse, Nachweis über das geringere Einkommen regelmäßig zu überprüfen. Dies ist regelmäßig nach spätestens zwölf Monaten der Fall, kann aber auch später geschehen. Nach meiner Auffassung trägt also schon mal gar nicht das Ausweichen der Krankenkasse, man hätte ja ohnehin damit rechnen müssen, Nachweise einreichen zu müssen. (§ 6 I, II Beitragsverfahrensgrundsätze Selbstzahler GKV
Die Verpflichtung, selbständig Änderungen anzuzeigen, und die damit verbundenen Folgen greifen hier mE nicht: es gibt ja keine Änderung seitens des Mitglieds, statt dessen obliegt schlicht der KrK die Überprüfung, ob sich gerade nichts geändert hat. Dies impliziert wohl auch der Gedanke, der hinter den Tatsachen steckt, dass nachteilige Änderungen rückwirkend zu berücksichtigen sind (und vorteilhafte Änderungen nicht). Ich habe noch weitere Gründe zu der Annahme, dass gerade nur Änderungen (und nicht Nichtänderungen) selbstständig beizubringen sind; aber das ist vllt zum Nutzen hier zu langatmig - das bisher Gesagte dürfte genügen.
Hier deutet sich bereits an, dass man mit der ungewohnten Situation möglichst aufwandslos umgehen möchte und den Poststreik darum ignoriert. Gleiches ergibt sich meiner Auffassung nach aus der Behauptung, nachträglich eingereichte Nachweise könnten nur für die Zukunft berücksichtigt werden. Aus § 6 V S. 2 des Beitragsverfahrens/GKV ergibt sich zwar dieser Grundsatz; er gilt jedoch nicht, solange die Nachweise innerhalb eines Monats nach Bekanntgabe der Beitragsfestsetzung erfolgen. Die "Bekanntgabe" wird für den Bescheid vermutet, sie sei am dritten Tag nach Aufgabe bei der Post erfolgt, § 37 II S. 1 SGB X. Diese Vermutung gilt jedoch nicht, wenn der Bescheid später zugegangen ist, § 37 II S. 3 SGB X; dabei wird ebenfalls bestimmt, dass im Zweifel die Krankenkasse den Zugang zu beweisen hat - angesichts des Poststreiks dürften allerdings nicht einmal Zweifel bestehen.
Noch weniger strukturiert kann ich etwas zu den Rechtsmitteln sagen. Da gäbe es auf den ersten Blick zum einen ja das Widerspruchsverfahren und zum anderen die Wiedereinsetzung in den vorigen Stand. Als Drittes bin ich spontan aber geneigt zu der Annahme, dass beides nicht notwendig ist. Statt dessen dürfte das bisherige Schreiben ruhig so fortbestehen und nach Maßgabe des oben genannten § 6 V müsste schlicht die Beitragsbemessung nachträglich korrigiert/überhaupt vorgenommen werden. (nicht ganz ernst gemeint und nur nebenbei erwähnt: handelte es sich bei der mündlichen Behauptung, 4k seien nun fällig, um einen Bescheid, müsste dem natürlich widersprochen werden; jedoch fehlte ja bereits die Rechtsbehelfsbelehrung)
Ebenfalls nebenbei: Sicher, dass 4k gezahlt werden sollen? Wenn ich mich nicht täusche, entspricht dies lediglich dem Betrag, der als Einkommen pauschal vermutet wird - der Beitrag selbst sollte geringer ausfallen. Allenfalls könnte es sich bei den 4k noch um eine Beitragssumme über mehrere Monate halten, von denen jedenfalls auch nach Auffassung der Krankenkasse nachträglich entsprechende Abzüge möglich sein sollen (wenn wiederum die 4k nicht als Nachzahlung behauptet werden).
Wie gesagt, es fällt mir schwer, einen echten Überblick zu gewinnen. Sonst würde ich auch konkrete Maßnahmen vorschlagen, aber selbst, wo ich behaupte, Widerspruch oder Antrag auf Wiedereinsetzung wären nicht nötig, kann ich mit bösen Folgen danebenliegen. Würde mich aber freuen, wenn ich dein Vertrauen geweck habe, dich mit deinem Anliegen an einen Anwalt oder zumindest (oder sogar besser) an die Schiedsstelle der Gesetzlichen Krankenversicherungen zu wenden. Und ganz besonders freue ich mich natürlich, wenn du auch weiter Rückmeldung gibst, sobald sich etwas Nennenswertes ergeben hat.