Differentialgleichung aus Übertragungsfunktion

amdandre

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• 23. Januar 2011

• #1

Hallo Männer,
ich hoffe ihr könnt mir etwas weiterhelfen. Ist keine Hausaufgabe, nur Übung.

Ich habe aus einer Sprungantwort eine Übertragungsfunktion folgender Gestalt erstellt:

Ich möchte nun aus dieser die entsprechende DGL erstellen. Lese ich dazu einfach die Koeffizienten aus dem Nenner ab? Also, dass es dann so aussieht:

Kann das sein? Wenn nicht, wie dann^^

In dem Fall wäre es ja wohl auch kein System 1. Ordnung, was mich verwirrt, denn in der Übungsaufgabe steht, dass es eins wär.


Danke schonmal,
Gruß

 

Gutgolf

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• 23. Januar 2011

• #2

Deine Lösung stimmt teilweise, jedoch fehlen die x Terme bei dir. Sollte so aussehen:

-3x'-2x = 2y''+4y'+2y

Die Lösungen im Zeitbereich bekommt man anschließend durch Integration oder Laplace Tabellen.

 

P

Peppercake

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• 23. Januar 2011

• #3

So einfach geht das nicht, schön wärs. Mach mal die Probe und transformier das in den Bildbereich.

@TE: Was du angibst ist G(s)=X(s)/Y(s). Was mich noch interessieren würde ist wie du darauf gekommen bist und wofür du die DGL brauchst. Normalerweise will man ja mit der Transformation eine Funktion finden, die eine DGL erfüllt.

So einfach lässt sich schonmal nicht auf ein x(t) schließen, du hast im Nenner außerdem fürs X(s) was stehen. Ich bezweifle, dass sich da "rückwärts" eindeutig überhaupt noch eine DGL bestimmen lässt. Das Quadrat sagt dir zumindest, dass eine 2. Ableitung darin vorkommen muss. Die "+2" bedeutet, dass es mindestens eine Anfangsbedingung gibt. Muss mal probiern was ich damit anfangen kann, schon ne Weile nicht mehr gemacht ;-)

 

amdandre

Ensign

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• 23. Januar 2011

• #4

Danke schonmal euch zwei. Ja, ich steh momentan irgendwie auf dem Schlauch. Also gegeben war die Sprungantwort h(t), daraus habe ich die Impulsantwort g(t) ermittelt und daraus G(s).
Das Eingangssignal war ja eigtl. der Einheitssprung Sigma, also müsste x(t) je eigtl. gleich 1 sein.

Hier der Weg für die ÜF:

 

Gutgolf

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• 23. Januar 2011

• #5

Falls interesse, hier die Lösung im Zeitbereich

Hoffe ich konnt hefen. Aber wie ich sehe stimmt deine Impulsantwort. Bin dann mal weg, Gute Nacht

 

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Zuletzt bearbeitet: 23. Januar 2011

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soyd

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• 23. Januar 2011

• #6

geht schon also x(t) auszurechnen auf die Dgl zu schließen ohne weitere Angaben ist wohl nicht möglich

Umformen:
-2 * ((3s+2) / (s²+4s+1))
doppelte Nullstelle bei -1
Partialbruchzerlegung Ansatz (a/(x+1)) + (b/(s+1)²)
sollte dass ruaskommen: -2*((3/(s+1))-(1/(s+1)²))
über Transformationstabbelle:
x(t) = -6 * e(-t) + 2 * t * e(-t) = 2(-3+t) * e(-t)

diese Lösung trifft aber auf viele Dgls zu

*edit oder doch wo vertan? mhh
gruß

 

Zuletzt bearbeitet: 23. Januar 2011

amdandre

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• 23. Januar 2011

• #7

Ja, also es geht nicht um die Lösung der DGL, die ist ja damit schon gegeben und Gutgolf hat sie auch nochmal gezeigt.
Sondern, es soll "einfach" die entsprechende DGL angeben werden, was vielleicht ganz einfach sein mag, mich aber momentan etwas vor eine Wand laufen lässt^^

 

P

Peppercake

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• 23. Januar 2011

• #8

@Gutgolf: Das ist die Rücktransformation, dadurch erhält man g(t). Scheinbar ist g(t) hier aber gar nicht das was amdandre sucht, sondern die DGL im Zeitbereich aus der sich G(s) ergibt. Deshalb auch das Beispiel der gesuchten Form.

Edit:
-3x'-2x = 2y''+4y'+2y wie von Gutgolf genannt wäre eine Möglichkeit, man ignoriert dabei aber mögliche Anfangsbedingungen (also alle 0).

 

Zuletzt bearbeitet: 23. Januar 2011

Gutgolf

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• 23. Januar 2011

• #9

Na dann alle Terme mit x auf die eine, alle mit y auf die andere seite:

X(s)*{-3s+2} = Y(s)*{2s^2+4s+2}

Dann Korrespondenz anwenden: Multiplikation mit s im Laplacebereich -> Ableiten im Zeitbereich. Statt s einfach d/dt schreiben und aus X(s) wird x(t), analog für Y(s)

 

amdandre

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• 23. Januar 2011

• #10

Ja, also sähe es entsprechend so aus: -3x'-2x = 2y''+4y'+2y
Anfangswerte sind bei Übertragungsfunktionen immer 0, also sollte das dann auch passen.

Gut, danke euch, denke das passt so.


Gruß