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Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl

17. Jun 2008, 09:51


Der Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl e ist mit elementaren Mitteln der Analysis als Widerspruchsbeweis durchführbar. Er wurde zuerst 1737 von Leonhard Euler in der hier angegebenen Weise geführt.

Der Beweis, dass e sogar transzendent ist, ist komplizierter und wurde zuerst 1873 von Charles Hermite geführt.

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Annahme

Wir starten mit der von Leonhard Euler stammenden Darstellung der eulerschen Zahl e als Reihe

e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}.

Wie sich leicht zeigen lässt, gilt 2<e<3\!.

Wir nehmen nun an, die reelle eulersche Zahl e sei rational. Dann ließe sie sich als vollständig gekürzter Bruch e = \frac{p}{q} mit p, q \in \mathbb{N} darstellen. Da 2<e<3\!, ist e keine ganze Zahl, und somit ist q > 1. Wir multiplizieren die Reihenentwicklung mit q!, womit wir diese neue Reihe erhalten:

\begin{matrix} \underbrace{q! \cdot e} &=& \\ \in \mathbb{N} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{q! + \frac{q!}{1!} + \frac{q!}{2!} + \frac{q!}{3!} + \cdots + \frac{q!}{q!}} &+& \\ N \in \mathbb{N} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{\frac{q!}{(q+1)!} + \frac{q!}{(q+2)!} + \cdots} \quad &(*)& \\ 0 < M < 1 \end{matrix}

[Bearbeiten] Linke Seite

Es ist q! \cdot e = q! \cdot \frac{p}{q} = (q-1)! \cdot p \in \mathbb{N}, da nach Voraussetzung p, q \in \mathbb{N}.

[Bearbeiten] Rechte Seite, erste Teilsumme

Die Glieder q! bis \frac{q!}{q!} = 1 auf der rechten Seite der Gleichung ( * ) sind ebenfalls alle natürlich, da alle Nenner 1! bis q! Teiler des Zählers q! sind. Die Summe dieser natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.

[Bearbeiten] Rechte Seite, zweite Teilsumme

Die Summe aller Glieder, vom Glied \frac{q!}{(q+1)!} ist größer 0, da alle Zähler und Nenner von null verschieden und positiv sind, und zudem kleiner 1, wie folgende Überlegung zeigt:

Das erste Glied ist \frac{q!}{(q+1)!} = \frac{1}{q+1} \le \frac{1}{3}, da q > 1, das zweite Glied ist \frac{q!}{(q+2)!} = \frac{1}{(q+1)(q+2)} \le \frac{1}{9}, das dritte Glied ist \le \frac{1}{27}, etc.

Die Summe dieser oberen Schranken ist eine unendliche, so genannte geometrische Reihe und konvergiert:

\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots \ = \ \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{3^i} \ = \ \frac{1}{3} \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{3^i} \ = \ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \ = \ \frac{1}{2}.

Für die zweite Teilsumme M gilt also 0 < M < 1, daher ist M keine natürliche Zahl.

[Bearbeiten] Widerspruch

Der Ausdruck ( * ) führt zu dem gewünschten Widerspruch, da die rechte Seite, N + M, anders als die linke Seite, q! \cdot e, keine natürliche Zahl ist.

[Bearbeiten] Schluss

Damit ist die Voraussetzung widerlegt, und es gilt e \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, d. h., e ist irrational.

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_eulerschen_Zahl“
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