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Ganzheitsring

30. Mai 2008, 14:24

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Körpers der rationalen Zahlen.

[Bearbeiten] Definition

Es sei K ein algebraischer Zahlkörper, d.h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Dann ist der Ganzheitsring \mathcal O_K von K definiert als der ganze Abschluss von \mathbb Z in K, d.h. die Teilmenge derjenigen x\in K, die eine Gleichung der Form

x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0 = 0

mit c_i\in\mathbb Z erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von xn gleich 1 sein muss.

Eine äquivalente Definition lautet: Der Ganzheitsring von K ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung, die Hauptordnung auf K.

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Beispiele

u + v\cdot\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2 mit u,v\in\mathbb Z.
Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms
X2 − (2u − v)X + (u2 − uv + v2).
Erfüllt umgekehrt x=a+b\mathrm i\sqrt3\in K die Polynomgleichung
x2 + px + q = 0 mit p,q\in\mathbb Z,
so folgt p = − 2a und q = a2 + 3b2. Man kann zeigen, dass daraus folgt, dass a + b und 2b ganzzahlig sind, also ist
x = (a+b) + 2b\cdot\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2
eine Eisenstein-Zahl.
  • Allgemein sieht für den Ganzheitsring von \mathbb Q(\sqrt{d}) (wobei d ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:
\{1,\sqrt{d} \} falls d kongruent 2 oder 3 mod 4
\{1, \frac{1+\sqrt{d}}2 \} falls d kongruent 1 mod 4
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzheitsring“
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