Registrieren Passwort vergessen?

Gaußklammer

6. Mär 2010, 00:33

Die Gaußklammer oder Abrundungsfunktion (auch Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer; engl. floor function) und die Aufrundungsfunktion (engl. ceiling function) sind Funktionen, die einer reellen Zahl die nächstgrößere bzw. nächstkleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol \left[ x \right] für die Abrundungsfunktion 1808 eingeführt hat.[1] Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen \operatorname{floor}(x) und \lfloor x \rfloor für die Gaußklammer sowie \operatorname{ceil}(x) und \lceil x \rceil für die Aufrundungsfunktion.[2]

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Die Abrundungsfunktion oder Gaußklammer

Gaußklammerfunktion oder Abrundungsfunktion

[Bearbeiten] Definition

Sie ist folgendermaßen definiert:

Für eine reelle Zahl x ist \lfloor x \rfloor die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist:
\lfloor x \rfloor:=\max_{k\in\Z, k\leq x}(k)

[Bearbeiten] Beispiele

  • \lfloor 2{,}8 \rfloor = 2
  • \lfloor -2{,}8 \rfloor = -3
Das Ergebnis ist nicht, wie vielleicht vermutet, − 2, da definitionsgemäß gelten muss: \lfloor x \rfloor \le x und − 2 dieser Definition nicht gerecht wird.
  • \lfloor 2 \rfloor = 2

[Bearbeiten] Eigenschaften

  • Es gilt immer
\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor+1

Dabei ist \lfloor x \rfloor = x genau dann, wenn x eine ganze Zahl ist.

  • Für jede ganze Zahl k und jede reelle Zahl x gilt
\lfloor x+k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k .
  • Für alle reellen Zahlen x,y gilt
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le \lfloor x+y \rfloor \le \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1 .
  • Für jede ganze Zahl k und jede natürliche Zahl n gilt:
\left\lfloor \frac{k}{n} \right\rfloor \ge \frac{k-n+1}{n}.
\bigl\lfloor \lfloor x \rfloor \bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor.
\sum_{j=1}^{n-1} \left \lfloor \frac{jm}{n} \right \rfloor = \frac{(m-1)(n-1)}{2}
  • für nichtganze reelle x lässt sie sich folgendermaßen als Fourier-Reihe darstellen:
\lfloor x \rfloor = x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin{(2k\pi x)}}{k}

[Bearbeiten] Aufrundungsfunktion

Aufrundungsfunktion

[Bearbeiten] Definition

Sie ist so definiert:

Für eine reelle Zahl x ist \lceil x \rceil die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist.
\lceil x \rceil:=\min_{k\in\Z, k\ge x}(k)

[Bearbeiten] Beispiele

  • \lceil 2{,}8 \rceil = 3
  • \lceil -2{,}8 \rceil = -2
  • \lceil 2 \rceil = 2

[Bearbeiten] Eigenschaften

  • Es gilt analog
\lceil \lceil x \rceil \rceil = \lceil x \rceil

[Bearbeiten] Allgemeine Eigenschaften

[Bearbeiten] Gaußklammer und Dezimalstellen

Es gilt:

x = \operatorname{floor}(x) + \operatorname{frac} (x)
frac … die Funktion liefert die Dezimalstellen der Zahl

[Bearbeiten] Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion

  • Es ist stets
\lceil x \rceil + \lfloor -x \rfloor = 0
\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor + \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil = k

[Bearbeiten] Gewöhnliche Rundung

Die gewöhnliche Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

  • \lfloor x + 0{,}5\rfloor
  • \lceil x - 0{,}5\rceil

[Bearbeiten] Weblinks

[Bearbeiten] Einzelnachweise

  1. ↑ Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), "The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x)." The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009)
  2. ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C): The terms CEILING FUNCTION and FLOOR FUNCTION appear in Kenneth E. Iverson's A Programming Language (1962, p. 12): "Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by \lfloor x \rfloor and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by \lceil x \rceil and defined as the smallest integer not exceeded by x." This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009)
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fklammer“
Dieser Artikel ist eine Kopie aus der freien Enzyklopädie Wikipedia. Am Originalartikel kann jeder Korrekturen und Ergänzungen vornehmen. Zudem kann man frühere Versionen einsehen.