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Harshad-Zahl

23. Jun 2008, 02:45

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl ist eine natürliche Zahl, die durch ihre Quersumme, d.h. die Summe ihrer Ziffern (im Dezimalsystem), teilbar ist. Beispielsweise ist 777 durch 7 + 7 + 7 = 21 teilbar: 777=21\cdot37.

Die ersten Harshad-Zahlen sind:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50,\ldots

(Folge A005349 in OEIS)

Das oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lässt sich auf alle 3-stelligen natürlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern:

Jede natürliche Zahl der Form nnn, wobei n eine beliebige Ziffer von 0 bis 9 darstellen kann, ist eine Harshad-Zahl, lässt sich also durch ihre Quersumme teilen.

Der Beweis ergibt sich aus folgender Überlegung:

nnn = n\cdot10^2+n\cdot10^1+n\cdot10^0
= n\cdot(100+10+1)
= n\cdot111
= n\cdot(3\cdot37)
= (n\cdot3)\cdot37

Nun ist aber die Quersumme von nnn\colon~ n+n+n = n\cdot3. Somit ist jede natürliche Zahl der Form nnn das 37-fache ihrer Quersumme, also eine Harshad-Zahl. q.e.d.

[Bearbeiten] Quellen

  • H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174-175
  • Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Volume 41.5 (November 2003), 431–440
  • Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265–275
  • Sandro Boscaro, Nivenmorphic Integers, Journal of Recreational Mathematics 28, 3 (1996 - 1997): 201–205
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