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Kongruenz (Zahlentheorie)

15. Sep 2008, 20:17

Die Kongruenz ist in der zur Mathematik gehörenden Zahlentheorie eine Beziehung zwischen drei Zahlen. Man nennt zwei Zahlen kongruent bezüglich eines Moduls (eine weitere Zahl), wenn sie bei Division durch den Modul denselben Rest haben. Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches des Moduls unterscheiden. So ist beispielsweise 5 kongruent 11 modulo 3, da 5: 3 = 1 \, \operatorname{Rest} \, 2 und 11: 3 = 3 \, \operatorname{Rest} \, 2, bzw. 11 - 5 = 6\, und 2 \cdot 3 = 6. Stimmen die Reste nicht überein, so nennt man die Zahlen inkongruent bzgl. des Moduls.

Für die Aussage „a und b sind kongruent modulo m“ verwendet man folgende Schreibweisen:

a \equiv b \mod m

oder

a \equiv b \pmod m

Die Bedeutung von Kongruenzen beruht darauf, dass mit ihnen annähernd wie mit Gleichungen gerechnet werden kann.

Die Theorie der Kongruenzen wurde von Carl Friedrich Gauß in seinem im Jahr 1801 veröffentlichten Werk „Disquisitiones Arithmeticae“ entwickelt. Der Begriff Kongruenz wurde von Christian Goldbach schon ab 1730 in Briefen an Leonhard Euler verwendet, jedoch ohne die theoretische Tiefe von Gauß. Im Gegensatz zu Gauß verwendete Goldbach das Symbol \mp und nicht \equiv.[1] Auch der chinesische Mathematiker Ch'in Chiu-Shao kannte schon Kongruenzen und die damit einhergehende Theorie, wie aus seinem 1247 veröffentlichten Buch „Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln“ hervorgeht.[2]

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Formale Definition

In der Zahlentheorie wird die Kongruenz auf eine Teilbarkeitsaussage zurückgeführt:

Zwei Zahlen a und b sind kongruent modulo m, wenn m die Differenz a − b teilt.
Zwei Zahlen a und b sind inkongruent modulo m, wenn m die Differenz a − b nicht teilt.

Unter Verwendung der mathematischen Notation lassen sich diese beiden Aussagen wie folgt schreiben:

a \equiv b \pmod m
\Leftrightarrow m \mid (a-b)
\Leftrightarrow \exists k \in \Z: a = km + b
a \not \equiv b \pmod m
\Leftrightarrow m \nmid (a-b)
\Leftrightarrow \forall k \in \Z: a \ne km + b

[Bearbeiten] Restklassen

Die Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation. Sie hat also die folgenden Eigenschaften:

Reflexivität
a \equiv a \pmod{m} für alle a \in \mathbb{Z}
Symmetrie
a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow b \equiv a \pmod{m} für alle (a, b) \in \mathbb{Z}^2
Transitivität
a \equiv b \pmod{m} und b \equiv c \pmod{m} \Rightarrow a \equiv c \pmod{m} für alle (a, b, c) \in \mathbb{Z}^3

Legt man einen Modul fest, so kann dadurch die Menge aller Zahlen auf sogenannte Restklassen verteilt werden. In einer Restklasse befinden sich alle Zahlen, die unter dem festgelegten Modul kongruent zueinander sind. Der Modul entspricht immer der Anzahl der Restklassen. Beispielsweise existieren für den Modul 2 die beiden Restklassen der geraden und der ungeraden Zahlen. Die Restklassen eines Moduls bilden einen Ring, den sogenannten Restklassenring.

[Bearbeiten] Rechenregeln

Im Folgenden seien a, a', b, b', c und m ganze Zahlen. Dabei sei m \ne 0, a \equiv a' \pmod{m} und b \equiv b' \pmod{m}. Dann gelten folgende Rechenregeln:

ca \equiv ca' \pmod{m}
a + b \equiv a' + b' \pmod{m}
a - b \equiv a' - b' \pmod{m}
ab \equiv a'b' \pmod{m}

Ist f \in \mathbb{Z}[X] ein Polynom über den ganzen Zahlen, dann gilt

f(a) \equiv f(a') \pmod{m}

Auch bei Kongruenzen ist ein Kürzen möglich. Es gelten jedoch andere Kürzungsregeln als von rationalen oder reellen Zahlen gewohnt. Ist der Modul m ungleich Null, so gilt

ca \equiv cb \pmod{m} \Leftrightarrow a \equiv b \pmod{\frac{m}{\operatorname{ggT}(c,m)}}

Daraus folgt unmittelbar, dass wenn der Modul eine Primzahl p und diese kein Teiler von c ist, gilt

ca \equiv cb \pmod{p} \Leftrightarrow a \equiv b \pmod{p}

Für jeden Teiler d von m folgt aus a\equiv b \mod m, dass a\equiv b \mod d.

Sind m_1, m_2, \ldots, m_k ganze Zahlen ungleich Null und ist m ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches, dann gilt

a \equiv a' \pmod{m_\kappa} für alle \kappa = 1, 2, \ldots, k \quad \Leftrightarrow \quad a \equiv a' \pmod{m}

[Bearbeiten] Potenzen

Ist n \in \mathbb{N}_0 eine natürliche Zahl, dann gilt

a^n \equiv (a')^n \pmod{m}

Sind a und m teilerfremd, dann gilt nach dem Satz von Euler

a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m

wobei \varphi(m) die Eulersche φ-Funktion bezeichnet. Ein Spezialfall davon ist der kleine Fermat’sche Satz, demzufolge für alle Primzahlen p die Kongruenz

a^p \equiv a \pmod p

erfüllt ist.

[Bearbeiten] Abgeleitete Rechenregeln

  1. Für t \ne 0 gilt: \qquad t \cdot a \equiv t \cdot b \mod |t| \cdot m
  2. Ist k ein Teiler von m, dann gilt: \qquad a \equiv b \mod k
  3. Für jede ungerade Zahl a gilt a^2 \equiv 1 \mod 8
  4. Für jede ganze Zahl gilt entweder a^3 \equiv 0 \mod 9 oder a^3 \equiv 1 \mod 9 oder a^3 \equiv 8 \mod 9
  5. Für jede ganze Zahl a gilt a^3 \equiv a \mod 6
  6. Für jede ganze Zahl gilt entweder a^3 \equiv 0 \mod 7 oder a^3 \equiv 1 \mod 7 oder a^3 \equiv 6 \mod 7
  7. Für jede ganze Zahl gilt entweder a^4 \equiv 0 \mod 5 oder a^4 \equiv 1 \mod 5
  8. Ist a sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl (z. B. a = 64) dann gilt entweder a \equiv 0 \mod 36 oder a \equiv 1 \mod 36 oder a \equiv 9 \mod 36 oder a \equiv 28 \mod 36
  9. Sei p eine Primzahl mit n < p < 2n. Dann gilt
    {2n \choose n} \equiv 0 \mod{p}
  10. Sei a eine ungerade ganze Zahl. Ferner sei n > 0. Dann gilt: a^{2^n} \equiv 1 \mod 2^{n+2}
  11. Sei p > 3. Ferner seien p und q = p + 2 Primzahlzwillinge. Dann gilt: p \cdot q \equiv -1 \mod 9

[Bearbeiten] Lösbarkeit von Kongruenzen

Eine lineare Kongruenz der Form \qquad ax \equiv c\mod m ist genau dann lösbar, wenn der ggT(a, m) die Zahl c teilt. Die Anzahl der Lösungen entspricht genau dem ggT(a, m).

Beispiel: \qquad 2x \equiv 4\mod 8 ist lösbar, weil der ggT(2,8)=2 die Zahl 4 teilt.

\qquad x_1 \equiv 2\mod 8
\qquad x_2 \equiv 6\mod 8

Eine simultane Kongruenz wie

\qquad a_1x \equiv c_1\mod m_1
\qquad a_2x \equiv c_2\mod m_2
\qquad a_3x \equiv c_3\mod m_3

ist lösbar, wenn immer gilt: ggT(a, m) teilt die Zahl c. Nach dem Chinesischen Restsatz existiert genau eine Lösung. Der Beweis des Chinesischen Restsatzes liefert den Lösungsweg für solche simultanen Kongruenzen.

[Bearbeiten] Beziehung zur Modulo-Funktion

Sind zwei Zahlen kongruent modulo einer Zahl m, ergibt sich bei der Division durch m derselbe Rest.

Mithilfe der vor allem in der Informatik verbreiteten Modulo-Funktion kann man dies so schreiben:

a \mod m = b \mod m.

Man beachte, dass dies mit der in der Informatik üblichen Modulo-Funktion nur für positive a und b richtig ist. Damit die Gleichung tatsächlich für alle a und b äquivalent zur Kongruenz wird, muss man die durch

(a \mod m)= a - \lfloor a/m \rfloor \cdot m

definierte Modulo-Funktion verwenden. (\lfloor. \rfloor ist die Gaußklammer.) Mit dieser Definition gilt beispielsweise ( − 1)mod 7 = 6.

[Bearbeiten] Anwendungen

Kongruenzen bzw. Restklassen sind oft hilfreich, wenn man Berechnungen mit sehr großen Zahlen durchführen muss.

Eine wichtige Aussage über Kongruenzen von Primzahlen ist der kleine Satz von Fermat bzw. der Fermatsche Primzahltest.

Siehe auch: lineare Kongruenz, simultane Kongruenz, chinesischer Restsatz

[Bearbeiten] Quellen

  1. ↑ Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43579-4
  2. ↑ Song Y. Yan: Number theory for computing. 2. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-43072-5, S. 111–117

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)“
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