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No-Cloning-Theorem

21. Okt 2008, 11:01

Das No-Cloning-Theorem ist ein bedeutsames Resultat der Quantenphysik. Demnach ist es nicht möglich ein System zu bauen, das jedes beliebige Qubit perfekt auf ein anderes Qubit kopiert, ohne dabei das ursprüngliche zu verändern.

Das No-Cloning-Theorem hat weitreichende Folgen für die Quanteninformatik. Zum einen können klassische Fehlerkorrekturcodes, die darauf beruhen, die zu übertragende Information zu kopieren, nicht angewandt werden. Zum anderen kann auch niemand eine entsprechende Informationsübertragung unbemerkt abhören, da er dazu eine Kopie der übertragenen Qubits anlegen müsste. Diese Eigenschaft bildet die Grundlage der Quantenkryptografie.

Auslöser der Entdeckung des No-Cloning-Theorems war eine Arbeit von N. Herbert, in der er eine theoretische Möglichkeit aufgezeigt hatte, durch das Kopieren von Qubits eine überlichtschnelle Informationsübertragung durchzuführen. Erst William Wootters und Wojciech Zurek veröffentlichten 1982 das No-Cloning-Theorem und zeigten damit, dass auf diese Art und Weise keine überlichtschnelle Informationsübertragung möglich ist.[1]

[Bearbeiten] Beweis

Zum Beweis des No-Cloning-Theorems wird angenommen, dass ein quantenmechanisches Verfahren existiert, das beliebige Qubits perfekt kopieren kann. Diese Annahme wird anschließend zum Widerspruch geführt.[2]

Es seien |\phi \rangle und |\psi \rangle zwei beliebige Zustände, die auf einen davon unabhängigen Zustand |k \rangle kopiert werden sollen. Wegen der Forderung der Erhaltung der quantenmechanischen Kohärenz kann das dazu notwendige Verfahren nur durch eine unitäre Abbildung U beschrieben werden. Diese muss zur Kopienbildung folgende Eigenschaften besitzen:

U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi \rangle \otimes |\phi \rangle
U(|\psi \rangle \otimes |k \rangle) = |\psi \rangle \otimes |\psi \rangle

Für das Skalarprodukt \langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle lassen sich also folgende zwei Gleichungen angeben:

\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle
\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle

Die erste Gleichung folgt hierbei durch Einsetzen der obigen Gleichungen, während sich die zweite Gleichung ergibt, da unitäre Abbildungen das Skalarprodukt nicht verändern. Somit erhält man

\langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle,

sowie auf Grund der Verträglichkeit von Skalarprodukt und Tensorprodukt

\langle \phi | \psi \rangle \langle \phi | \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle \langle k | k \rangle\,.

Da \langle k | k \rangle = 1 folgt also

\langle \phi | \psi \rangle^2 = \langle \phi | \psi \rangle.

Diese Gleichung hat nur die Lösungen \langle \phi | \psi \rangle = 0 und \langle \phi | \psi \rangle = 1. Das bedeutet, dass entweder φ = ψ ist (falls \langle \phi | \psi \rangle = 0) oder φ und ψ orthogonal sind (falls \langle \phi | \psi \rangle = 1). Damit kann ein quantenmechanisches Verfahren, welches in der Lage ist, einen Zustand φ zu kopieren, bestenfalls noch alle zu φ orthogonalen Zustände kopieren. Das Kopieren beliebiger Zustände ist jedoch nicht möglich.

[Bearbeiten] Quellen

  1. ↑ Dagmar Bruß: Quanteninformation. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-596-15563-0, S. 35–40
  2. ↑ Matthias Homeister: Quantum Computing verstehen. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-05921-4, S. 81–84
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/No-Cloning-Theorem“
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