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Ohmsches Gesetz

28. Nov 2008, 10:34

Als ohmsches Gesetz (benannt nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm) wird der bei bestimmten elektrischen Leitern vorliegende lineare Zusammenhang zwischen Spannungsabfall U und hindurchfließendem elektrischen Strom I bezeichnet. Mathematisch wird diese Proportionalität als

U \sim I\

(lies: U ist proportional zu I ) formuliert. Die Proportionalitätskonstante wird dabei als elektrischer Widerstand bezeichnet und mit R notiert, womit sich die Gleichung

U = R \cdot I

ergibt. Um die Proportionalität von Spannung und Stromstärke bei konstantem Widerstand zu betonen, schreibt man auch

R = \frac{U}{I} = \mathrm{const.}

Durch diese Gleichung wird der ohmsche Widerstand definiert, der ein wichtiger Sonderfall des allgemeineren elektrischen Widerstandes ist.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Feldstärke und Stromdichte

Zusammenhänge im ohmschen Gesetz

Den Widerstand eines Materials kann man bezüglich der geometrischen Abmessungen des Materials darstellen:

R=\rho\cdot\frac{l}{A}

wobei l die Länge und A die Querschnittsfläche des betrachteten Leiters und ρ der spezifische elektrische Widerstand ist. Zusätzlich gilt:

\vec A = A\,\vec e=\vec b \times \vec h;\ \vec l = l\,\vec e

wobei \vec e der Einheitsvektor in Betrachtungsrichtung und \vec b bzw. \vec h die Vektoren der Breite bzw. Höhe des betrachteten Flächenelements ist (siehe Abbildung).

Dadurch lässt sich das ohmsche Gesetz folgendermaßen ausdrücken:

U=R\cdot I=\rho\cdot\frac{l}{A}\cdot I \Leftrightarrow \frac{U}{l}=\rho\cdot\frac{I}{A}

Mit

\vec E=\frac{U}{l}\vec e_l;\ \vec j=\frac{I}{A}\vec e_I

(\vec e bezeichnet jeweils den Einheitsvektor in die im Index angegebene Richtung) folgt daraus die Gleichung:

\vec E=\rho\,\vec j \Leftrightarrow \vec j=\sigma\,\vec E mit ρ = σ − 1

Hierbei ist E die elektrische Feldstärke, J die elektrische Stromdichte und σ der spezifische elektrische Leitwert. Die elektrische Stromdichte wird hierbei in der Literatur auch mit j oder S bezeichnet.

Der spezifische elektrische Leitwert σ – und folglich auch der spezifische elektrische Widerstand ρ – sind von der Feldstärke E bzw. der Stromdichte J abhängig. Ist diese Abhängigkeit im Betriebsbereich des Materials vernachlässigbar gering, so spricht man von einem linearen Leiter bzw. einem linear wirkenden Leiter.

[Bearbeiten] Mikroskopische Betrachtungsweise/​maxwellsche Materialgleichung

In einer mikroskopischen Betrachtung wird das ohmsche Gesetz durch den linearen Zusammenhang zwischen dem Stromdichte-Vektorfeld \mathbf{\vec J}_m und dem elektrischen Feldstärke-Vektorfeld \mathbf{\vec E}_n beschrieben, also

\mathbf{\vec{J}}_m = \mathbf{\sigma}_{mn} \, \mathbf{\vec{E}}_n\,.

In isotropen Materialien kann der Tensor σmn durch einen Skalar ersetzt werden, und es gilt:

\vec J = \mathbf{\sigma}\,\vec{E}\,.

Wenn man die Bewegung freier Elektronen wie die ungeordnete Molekülbewegung eines Gases betrachtet, kann man Konstanz der elektrischen Leitfähigkeit plausibel machen. Die Zähldichte n der Elektronen ist dann innerhalb des Leiters konstant. Die mittlere Geschwindigkeit \bar v der Elektronen ist

\bar v=10{,}6\cdot 10^6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,.

Die mittlere Wegstrecke λ zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall wird in einer typischen Zeit τs zurückgelegt:

\lambda=\bar{v}\,\tau_s\,.

In dieser Zeit erfahren die Elektronen eine Beschleunigung a durch das angelegte elektrische Feld mit

a=\frac{e\,E}{m_e}\,,

wobei e die Elementarladung und me die Elektronenmasse ist. Die Elektronen erreichen somit eine Driftgeschwindigkeit vd mit vd = aτs. Setzt man dieses in die Gleichung für σ ein, so erhält man:

\sigma = \frac{J}{E} = \frac{n\,e\,v_d}{E} = \frac{n\,e\,a\,\tau_s}{E} = \frac{n\,e^2\tau_s}{m_e} = \frac{n\,e^2\lambda}{m_e\,\bar v}\,.

Die Größen λ und \bar v hängen nur von der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der „Elektronenwolke“ ab. Da die Driftgeschwindigkeit aber ca. 10 Größenordnungen kleiner ist als die mittlere Geschwindigkeit \bar v, ändert sich die Geschwindigkeitsverteilung durch das Anlegen eines elektrischen Feldes nicht, und λ und τs und somit der ganze Ausdruck für σ sind konstant.

[Bearbeiten] Gültigkeitsbereich

Das ohmsche Gesetz macht nur eine Aussage über das Verhältnis zwischen Strom und Spannung (bzw. zwischen Stromdichte und Feldstärke). Die Abhängigkeit des Stroms bei feststehender Spannung von weiteren Größen (Temperatur, Magnetfeld, Beleuchtung, …) wird durch das ohmsche Gesetz nicht beschrieben. In Wirklichkeit ist der Strom auch von diesen genannten Größen abhängig. Das ohmsche Gesetz ist also nur eine Näherung.

Zwischen Strom und Spannung gilt im Gleichstromfall für hysteresefreie, sprungstellenfreien Widerstände unter Vernachlässigung weiterer Umgebungsbedingungen:

U = R_0 + R_1 \cdot I + R_2 \cdot I^2 + R_3 \cdot I^3 + \ldots .

Von einem ohmschen Widerstand spricht man, wenn alle Terme bis auf R1 verschwinden oder bei dem gerade betrachteten Strombereich vernachlässigbar sind. Von differentiellem ohmschen Widerstand spricht man, wenn alle Terme bis auf R0 und R1 verschwinden. Bei genügend großen Stromdichten versagt die Näherung des ohmschen Widerstandes völlig.

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Ohmsches_Gesetz“
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