Spannungsteiler

26. Nov 2008, 23:22

Der Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung aus passiven elektrischen Zweipolen, durch die eine elektrische Spannung aufgeteilt wird.

Im Bezug zu magnetischen Kreisen wird der Begriff Spannungsteiler auch verwendet, um die Aufteilung der magnetischen Spannung (Durchflutung) entlang von magnetischen Widerständen zu beschreiben.

[Bearbeiten] Spannungsteilerregel

Die Berechnung der Teilspannungen kann durch die Spannungsteilerregel erfolgen. Diese ist nur anwendbar, wenn alle Bauelemente, auf die sich die Gesamtspannung aufteilt, linear und passiv sind. Sobald aktive Bauelemente wie Quellen vorkommen, muss auf das Knotenpotentialverfahren oder Maschenstromverfahren zurück gegriffen werden.

Verbal lautet die Spannungsteilerregel:

$\tfrac{\mbox{Teilspannung}}{\mbox{Gesamtspannung}} = \tfrac{\mbox{Widerstand unter Teilspannungsabfall}}{\mbox{Gesamtwiderstand}}$

Verallgemeinert auf n in Reihe geschaltete Widerstände (i = 1...n) ergeben sich für die Teilspannung über den Widerstand k die nachfolgenden Gleichungen für die jeweiligen Anwendungsfälle (mit n und k ganzzahlig, n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n). Widerstände in Parallelschaltungen müssen zunächst zu einem Widerstand zusammengefasst werden, um den Gleichungen in der dargestellten Form zu entsprechen. Der Gesamtwiderstand bezieht sich nur auf die Widerstände, über die die Gestamtspannung abfällt. Eventuelle Widerstände, die vor, nach oder in parallelen Zweigen zum betrachteten Abschnitt liegen, werden nicht berücksichtigt. Bei Schaltungen mit inneren parallelen Verzweigungen muss die Formel eventuell mehrmals angewendet werden, um die gesuchte Teilspannung zu erhalten.

[Bearbeiten] Gleichspannungsfall

Spannungsteiler mit ohmschen Widerständen

Bei Gleichspannung treten nur reellwertige Widerstandwerte, so genannte ohmsche Widerstände auf.

$\frac{U_k}{U} = \frac{R_k}{R}$ mit dem Gesamtwiderstand $R = \sum_{i=1}^n R_i$

Bei Gleichspannung sind die einzelnen Teilspannungen immer kleiner als die Gesamtspannung. Das Verhältnis von Teilspannung zur Gesamtspannung nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. Typisches Beispiel eines einstellbaren Spannungsteiler ist ein Potentiometer, bei dem über einen verschiebbaren Kontakt auf einem durchgehenden Widerstandskörper das Teilungsverhältnis variabel eingestellt werden kann. Teilspannungen verhalten sich proportional zu den Widerständen, über die sie abfallen. Das bedeutet, je kleiner (größer) der Widerstand ist, desto kleiner (größer) ist die Teilspannung.

[Bearbeiten] Wechselspannungsfall

Bei harmonischer Wechselspannung mit einer konstanten Kreisfrequenz ω können zusätzlich komplexe Widerstände, so genannte Impedanz, in Form von Kapazitäten (kapazitiver Spannungsteiler) und Induktivitäten (induktiver Spannungsteiler) auftreten. Die Berechnung eines Spannungsteilers ist dann einen Teil der komplexen Wechselstromrechnung.

$\frac{U_k}{U} = \frac{Z_k}{Z}$ mit der Gesamtimpedanz $Z = \sum_{i=1}^n Z_i$

Bei Wechselspannung und den auftreten Impedanzen können durch die Energiespeicherung in den Impedanzen die Teilspannungen an den Kapazitäten und Induktivitäten durch Resonanz größer als die Gesamtspannung werden. Wichtig ist bei der Anwendung der Spannungsteilerregel mit Wechselspannung, dass die Impedanzen, insbesondere Induktivitäten, untereinander über ihre im elektrischen bzw. magnetischen Feld gespeicherte Energie nicht gekoppelt sind. Dieser Umstand ist gleichbedeutend mit der Forderung von passiven Zweipolen welche keine Spannungs- oder Stromquellen aufweisen.

[Bearbeiten] Magnetische Kreise

In magnetischen Kreisen teilt sich die magnetische Spannung nur auf magnetische Widerstände auf.

$\frac{U_{m_k}}{U_m} = \frac{R_{m_k}}{R_m}$ mit dem Gesamtwiderstand $R_m = \sum_{i=1}^n R_{m_i}$

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Einfacher Spannungsteiler mit zwei ohmschen Widerständen

Spannungsteiler aus zwei in Reihe geschalteten ohmschen Widerständen

Im Allgemeinen ist mit Spannungsteiler dessen einfachste Form gemeint, die aus der Reihenschaltung von zwei ohmschen Widerständen besteht.

Nach den Kirchhoffschen Regeln teilt sich die Gesamtspannung $\,U$ in zwei Teilspannungen auf:

$\,U = U_1 + U_2$

Da durch in Reihe geschaltete Widerständen der gleiche Strom fließt, gilt nach dem Ohmschen Gesetz:

$\frac{U_1}{R_1} = \frac{U_2}{R_2}$

Löst man diese Gleichung nach $U 2$ auf

$U_2 = U_1 \cdot \frac{R_2}{R_1}$

und setzt das Ergebnis in $U = U 1 + U 2$ ein, ergibt sich:

$U = U_1 \cdot \left(1 + \frac{R_2}{R_1} \right) = U_1 \cdot \frac{R_1 + R_2}{R_1}$

Dividiert man durch $U 1$ und bildet auf beiden Seiten den Kehrwert, ergibt sich das selbe Ergebnis wie für die Spannungsteilerregel:

$\frac{U_1}{U} = \frac{R_1}{R}$ bzw. für die ander Teilspannung $\frac{U_2}{U} = \frac{R_2}{R}$ mit dem Gesamtwiderstand $\,R = R_1 + R_2$

Die gesuchten Teilspannungen sind somit direkt von der Gesamtspannung und den Widerständen des Spannungsteilers abhängig. Die Gesamtspannung sowie die Werte der Widerstände sind im Allgemeinen bekannt.

[Bearbeiten] Beispiel mit mehrfach Anwendung

Spannungsteiler mit einer inneren Verzweigung

Gesucht wird die Spannung über $R 21$ . Dazu wird zunächst die Spannung $U 2$ über der Parallelschaltung berechnet. Die Spannungsteilerregel ergibt die Gleichung:

$\frac{U_2}{U} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

mit $\,R_2 = \left(R_{21} + R_{22} \right) \parallel R_{23}$

Die Teilspannung $U 2$ teilt sich auf die Reihenschaltung aus $R 21$ und $R 22$ auf. Durch nochmalige Anwendung der Spannungsteilerregel, wird die Spannung über $R 21$ abhängig von $U 2$ ermittelt:

$\frac{U_{21}}{U_2} = \frac{R_{21}}{R_{21} + R_{22}}$

Werden beide Gleichungen miteinander multipliziert, ergibt sich eine Gesamtgleichung in der $U 21$ direkt von U abhängig ist:

$\frac{U_2}{U} \cdot \frac{U_{21}}{U_2} = \frac{U_{21}}{U} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot \frac{R_{21}}{R_{21} + R_{22}}$

[Bearbeiten] Belasteter Spannungsteiler

Belasteter Spannungsteiler mit Lastwiderstand parallel zu

R 2

Schaltet man dem Widerstand $R 2$ aus der Schaltung im ersten Beispiel einen Verbraucher mit dem Widerstand $R L$ parallel, so entsteht ein belasteter Spannungsteiler. Der Widerstand der Parallelschaltung $R P$ aus $R 2$ und $R L$ ist kleiner als der kleinste Widerstand in der Parallelschaltung. Er wird berechnet mit:

$R_P = R_2 \parallel R_L = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2 + R_L}$

Infolge der Verringerung des Widerstands sinkt nach der Spannungsteilerregel die Spannung $U 2$ proportional dazu. Sie ergibt sich nun zu:

$U_2 = \frac{R_P}{R_1 + R_P} \cdot U$

Um stabile Verhältnisse zu bekommen, wählt man $R L$ wesentlich größer als den Gesamtwiderstand des Spannungsteilers, so dass der Strom durch $R 2$ (Querstrom $I q$ ) um den Faktor 10 größer ist, als der Strom durch $R L$ (Laststrom $I L$ ).

$\Rightarrow I_q =5 \dots 10 \cdot I_L$

[Bearbeiten] Beispiel für magnetischen Kreis

magnetischer Spannungsteiler aus zwei Widerständen

In magnetischen Kreisen wird die Regel genauso angewendet. Für die Teilspannungen über $R_{m_\text{Fe}}$ und $R_{m_\text{Air}}$ ergeben sich die Gleichungen:

$\frac{U_{m_\text{Fe}}}{\Theta} = \frac{R_{m_\text{Fe}}}{R_m}$

bzw. für den anderen Zweig

$\frac{U_{m_\text{Air}}}{\Theta} = \frac{R_{m_\text{Air}}}{R_m}$

mit dem Gesamtwiderstand:

$R_m = R_{m_\text{Fe}} + R_{m_\text{Air}}$

[Bearbeiten] Anwendung

Die Anwendungsbeispiele überschneiden sich mit den Anwendungen von Potentiometern (einstellbare Spannungsteiler). Spannungsteiler werden verwendet:

zur Pegelanpassung
in Dämpfungsgliedern, z. B. auch zur Lautstärkeregelung
zur Spannungsmessung; Vielfachmessgeräte besitzen einen umschaltbaren Spannungsteiler für die Messung in verschiedenen Bereichen.
in Messspitzen für Oszilloskope: hier sind meist Spannungsteiler mit Teilerverhältnissen von 10 zu 1 oder 100 zu 1 zu finden. Diese Messspitzen (engl. probes) besitzen zusätzlich zum Widerstands-Spannungsteiler eine Frequenzkompensation, die die Leitungs- und Eingangskapazität bei Wechselspannungsmessungen ausgleicht. Die Kompensation ist oft einstell- bzw. abgleichbar. Sie stellt einen parallel liegenden kapazitiven Spannungsteiler dar.
zur Hochspannungsmessung (Hochspannungs-Messspitzen bzw. -tastköpfe); Teilerverhältnisse von 1000:1 oder größer. Eingangsspannungen bis etwa 40 kV sind gängig. Der obere Teilwiderstand beträgt ca. 1…100 GOhm, oft ist der Eingangswiderstand des Messgerätes (z. B. 1 oder 10 MOhm) berücksichtigt. Hochspannungs-Messspitzen gibt es unkompensiert für Gleichspannungsmessungen, aber auch frequenzkompensiert für Wechselspannungsmessungen.
induktive und resistive Spannungsteiler werden zur Positions- und Winkelbestimmung sowie in Beschleunigungsaufnehmern verwendet. Die hierbei eingesetzten induktiven Spannungsteiler arbeiten ohne Kontakte mit einem verschiebbaren weichmagnetischen Kern wie ein doppeltes Variometer.
induktive Spannungsteiler liefern in der Messtechnik hochpräzise Spannungsverhältnisse, die fast ausschließlich vom Windungszahlenverhältnis des verwendeten Transformators abhängig sind. Induktive Spannungsteiler sind sowohl mit festen Spannungsverhältnissen als auch als einstellbare Dekaden im Einsatz.
zur Erstellung einer Brückenschaltung durch Kombinierung von Spannungsteilern.

[Bearbeiten] Siehe auch

Stromteiler

[Bearbeiten] Literatur

Reinhold Pregla: Grundlagen der Elektrotechnik. 7. Auflage. Hüthig Verlag, 2004, ISBN 3-7785-2867-X.
Klaus Lunze: Einführung in die Elektrotechnik. 13. Auflage. Verlag Technik, 1991, ISBN 3-341-00980-9.
Heinz Meister: Elektrotechnische Grundlagen. 9. Auflage. Vogel Fachbuchverlag, 1991, ISBN 3-8023-0528-0.

[Bearbeiten] Weblinks

Wikibooks: Spannungsteiler – Lern- und Lehrmaterialien

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Spannungsteiler“

Kategorien: Elektrische Schaltung | Elektrische Spannung | Magnetismus

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