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Teileranzahlfunktion

12. Okt 2007, 14:20

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie gibt die Teileranzahlfunktion an, wieviele Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Zahl selbst und die Eins mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion wird üblicherweise mit d oder τ bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition

Für eine natürliche Zahl n ist

d(n)=\tau(n)=\#\{d\colon 1\leq d\leq n\ \mathrm{und}\ d\mid n\}.

Die ersten Werte sind:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Teiler von n 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
d(n) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

[Bearbeiten] Eigenschaften

n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},
so gilt[1]
d(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1).
d(mn) = d(m)\cdot d(n).
Aufgrund dieser Eigenschaft bezeichnet man die Teileranzahlfunktion als (multiplikative) zahlentheoretische Funktion.
  • Eine Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn d(n) = 2 ist.
  • Eine Zahl n ist genau dann eine Quadratzahl, wenn d(n) ungerade ist.
  • Die zur Teileranzahlfunktion gehörige Dirichlet-Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion:[2]
\zeta(s)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{d(n)}{n^s} (für \operatorname{Re}\,s>1).

[Bearbeiten] Asymptotik

Im Mittel ist d(n)\approx\log n, präziser: Es gibt Konstanten \beta\leq1/2, so dass[3]

\sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(x^\beta)

gilt. (Dabei sind „O“ ein Landau-Symbol und γ die Euler-Mascheroni-Konstante.)

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl d\leq x ein Teiler von etwa \frac xd Zahlen n\leq x ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

x\cdot\sum_{d=1}^{\lfloor x\rfloor}\frac 1d\approx x\log x.

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert β = 1 / 2 wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen;[4] die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, x1 / 3logx)[5] und J. van der Corput (1922, β = 33 / 100)[6] angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass \beta\geq1/4 gelten muss.[7] Die möglichen Werte für β sind immer noch Forschungsgegenstand.

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

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Die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall k = 0 der verallgemeinerten Teilersummenfunktion

\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n} d^k.

[Bearbeiten] Literatur

  • G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1

[Bearbeiten] Quellen

  1. ↑ Hardy-Wright, a.a.O., Theorem 273, S. 239
  2. ↑ Hardy-Wright, a.a.O., Theorem 289, S. 250
  3. ↑ Hardy-Wright, a.a.O., Theorem 320, S. 264
  4. ↑ P. G. L. Dirichlet, Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie, Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften von 1849, S. 69–83; oder Werke, Band II, S. 49–66
  5. ↑ G. Voronoï, Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques, J. Reine Angew. Math. 126 (1903) 241–282
  6. ↑ J. G. van der Corput, Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem, Math. Ann. 87 (1922) 39–65. Berichtigungen 89 (1923) 160.
  7. ↑ G. H. Hardy, On Dirichlet's divisor problem, Lond. M. S. Proc. (2) 15 (1915) 1–25. Vgl. Hardy-Wright, a.a.O., S. 272
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