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Wärmerauschen

18. Nov 2008, 11:46

Wärmerauschen, auch thermisches Rauschen, Widerstandsrauschen, Nyquist-Rauschen, Johnson-Rauschen oder Johnson-Nyquist-Rauschen genannt, ist ein weißes Rauschen, das sich aus der thermischen Bewegung der Ladungsträger in elektrischen Schaltkreisen erklärt. Das Frequenzspektrum des Widerstandsrauschens wurde von John Bertrand Johnson experimentell verifiziert und von H. Nyquist theoretisch begründet.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Erscheinungsform

Wärmerauschen äußert sich bei ohmschen Widerständen als Widerstandsrauschen. Die thermische Bewegung der Leitungselektronen erzeugt an den Klemmen des Zweipols den Rauschstrom und die Rauschspannung. Die bei Kurzschluss oder Leerlauf vorliegenden Werte können unabhängig von einer willkürlichen Beschaltung als spektrale Rauschleistungsdichte angegeben werden, die proportional der absoluten Temperatur ist. Beim unbelasteten Bauelement ist die Rauschleistung unabhängig vom elektrisch leitenden Medium. Beim stromdurchflossenen Kohleschichtwiderstand kommt Stromrauschen hinzu, das weit über dem thermischen Rauschen liegen kann, beim stromdurchflossenen Halbleiter entsteht Zusatzrauschen durch thermisch bedingte Schwankung der Trägerzahl.

Johnson experimentierte in den Jahren 1927/28 bei Temperaturen zwischen der Siedetemperatur des Stickstoffs und der des Wassers mit Widerständen sehr unterschiedlichen Materials. Verwendet wurden unter anderen Kohleschicht-, Kupfer- und Platinwiderstände sowie mit verschiedensten Elektrolyten gefüllte Kapillaren.

[Bearbeiten] Physikalische Gründe

Die Leitungselektronen elektrisch leitender Materialien (Metalle, Halbleiter) nehmen an der weitgehend ungeordneten, thermisch angeregten Bewegung der Komponenten der atomaren Ebene teil und bewegen sich zufällig und ungerichtet. Sie tragen bei Raumtemperatur in geringem Maße zur spezifischen Wärme bei, und ihre ungeordnete Bewegung stellt an den Klemmen eines Zweipols die hier in Rede stehende endliche elektrische Rauschleistung zur Verfügung. Die Leitungselektronen erzeugen mit großer Rate statistisch unabhängige Spannungs- und Stromimpulse von endlicher, aber kurzer Dauer, deren Überlagerung zu der breiten Frequenzverteilung führt, die in der Elektrotechnik meist als Rauschquelle mit weißem Spektrum wahrgenommen wird. Das Rauschleistungsspektrum reicht von der Frequenz null bis zu einer Grenzfrequenz, deren Wert durch die thermisch noch merklich anregbaren elektromagnetischen harmonischen Komponenten bestimmt ist. Die erste Berechnung des Rauschspektrums von Nyquist macht vom Gleichverteilungssatz der Thermodynamik Gebrauch. – Eine endliche Gleichspannungskomponente wird nicht beobachtet. Dazu wäre eine Symmetriebrechung notwendig, für die keine Veranlassung ersichtlich ist, weil thermodynamisches Gleichgewicht vorausgesetzt ist.

Das Widerstandsrauschen wurde durch das in weiten Frequenzgrenzen weiße Leistungsspektrum charakterisiert. Eine andere Fragestellung ist die Beschreibung durch die Amplitudenverteilung der Momentanwerte von Spannung oder Strom. Erfahrungsgemäß liegt eine Normalverteilung (Gaußverteilung) mit Mittelwert null vor, deren Streuparameter durch die Rauschleistung gegeben ist. Insbesondere kann demnach eine unendlich große Amplitude erwartet werden mit allerdings exponentiell geringer werdender Wahrscheinlichkeit.

Die stochastische Amplitudenstatistik bedingt, dass Rauschspannungen unter echter quadratischer Gleichrichtung gemessen werden müssen. Johnson verwendete dazu (nach elektronischer Verstärkung) einen Thermoumformer, in dem die Wärmeentwicklung durch die zugeführte Rauschleistung die Temperatur erhöht. Sie wird mit einem Thermoelement gemessen, dessen Spannung linear gemittelt werden darf. Der Konvertierungsfaktor des Thermoumformers wird mit einer durch eine bekannte Gleichspannung gut definierten Leistung gemessen.

[Bearbeiten] Rauschgrößen

Analog zur brownschen Molekularbewegung beobachtet man an einem ohmschen Widerstand mit einem empfindlichen Voltmeter (z. B. einem Galvanometer) Schwankungen der angezeigten Spannung. Der Mittelwert dieser Spannungen ergibt null, als Rauschgröße wird der Effektivwert der Spannung gemessen. Das mittlere Quadrat des Effektivwerts ist proportional der absoluten Temperatur T und der Größe R des elektrischen Widerstandes. Der Einfluss der Bandbreite der Messanordnung ist mit einem breitbandigen Aufbau nicht leicht erkennbar, die Amplitudenstatistik lässt sich recht gut beurteilen.

Die Nyquist-Formel stellt folgenden Zusammenhang für die Rauschspannung im Leerlauf her:

\overline{u^2} = 4 k_\mathrm{B} \cdot T \cdot R \cdot \Delta f \,

mit der effektiven Leerlaufrauschspannung

U_\mathrm{eff} = \sqrt{\overline{u^2}} \,

folglich

U_{R,\mathrm{eff}} = \sqrt{4 k_\mathrm{B} \cdot T \cdot R \cdot \Delta f} \, .

Dabei sind kB die Boltzmann-Konstante, T die absolute Temperatur und R der ohmsche Widerstand des rauschenden Zweipols. Δf ist die zugelassene Bandbreite. Das Gesamtrauschen ergibt sich durch Integration über alle Frequenzen f.

Analog dazu lässt sich das zeitlich gemittelte Rauschstromquadrat \overline{i^2} im Kurzschlussfall bestimmen zu

\overline{i^2} = \frac{4 k_\mathrm{B} \cdot T \cdot \Delta f}{R} \,

mit dem effektiven Kurzschlussrauschstrom

I_{R,\mathrm{eff}} = \sqrt{\overline{i^2}} = \sqrt{\frac{4 k_\mathrm{B} \cdot T \cdot \Delta f}{R}} \, .

[Bearbeiten] Ersatzschaltung

Das Ersatzschaltbild eines rauschenden Widerstands ist die Reihenschaltung des rauschfrei gedachten Widerstands R mit der sein Rauschen darstellenden Spannungsquelle, welche das Leerlaufspannungsquadrat \overline{u^2} abgibt.
Zur Darstellung mit einer Rauschstromquelle wird ein Stromgenerator vom Kurzschlussstromquadrat \overline{i^2} dem idealen Widerstand R parallel geschaltet.

[Bearbeiten] Quantenmechanische Erweiterung

Obige Formel ist eine hinreichend gute Annäherung für Frequenzen unterhalb einer quantentheoretisch bedingten Grenzfrequenz fQ gemäß hfQ / kBT = 1. Bei Raumtemperatur ist etwa fQ = 1012 Hz.

Die Integration obiger Gleichungen über den gesamten Frequenzbereich führte zur Ultraviolett-Katastrophe, weshalb für hohe Frequenzen eine quantenmechanische Erweiterung notwendig ist.

Für hinreichend hohe Frequenzen oder entsprechend niedrigeren Temperaturen muss die quantenmechanische Form

\overline{u^2} = 4 k_\mathrm{B} T R\frac{h f/k_\mathrm{B} T}{\exp{(h f/k_\mathrm{B} T)}-1} \Delta f \,

verwendet werden, die Nyquist bereits angab. Bei diesen Frequenzen ist das thermische Rauschen nicht mehr spektral weiß sondern nimmt mit steigender Frequenz exponentiell ab.

[Bearbeiten] Leistungsspektrum

Zwei ohmsche Zweipole vom gleichen frequenzunabhängigen Widertand R seien durch eine verlustlose Leitung vom Wellenwiderstand Z = R verbunden. Wegen der Anpassung nach dem Wellenwiderstrand befinden sich auf der Leitung nur fortschreitende Wellen. Einflüsse durch stehende Wellen infolge Reflexion sind selbst bei beliebiger Leitungslänge nicht vorhanden, und Frequenzselektivität liegt daher nicht vor. Die elektromagnetischen Wellen auf der Leitung werden durch die Widerstände erregt und im jeweils anderen vollständig absorbiert, wenn die Widerstände sich im Wärmebad der absoluten Temperatur T befinden. Diese bzgl. der Ausbreitung der elektromagnetischen Vorgänge längs der Leitung eindimensionale Anordnung ist eine elektrotechnische Entsprechung zur dreidimensionalen Schwarzen Hohlraumstrahlung.

Nach der Nyquist-Formel, die zuerst durch Überlegungen an der vorstehend beschriebenen Anordnung mittels des Gleichverteilungssatzes gewonnen wurde, ist das mittlere Leerlaufspannungsquadrat eines der rauschenden Widerstände in einem niederfrequenten Frequenzband [f,\,f + \Delta f] durch \overline{u^2} = 4Rk_{\mathrm{B}}T \Delta f gegeben. Bei dieser Beschaltung besteht auch Leistungsanpassung mit Spannungsteilung 1:2 der Leerlauf- zur Klemmenspannung. Daher führen sich die Widerstände einander die gleiche verfügbare mittlere Rauschleistung \overline{u^2} /4R = k_\mathrm{B}T\Delta f zu. Ein ebenso großer Betrag ihrer erzeugten Gesamtleistung wird in ihnen selbst dissipiert. Die jeweils zum anderen Widerstand übertragene Leistung stört das thermische Gleichgewicht nicht, im Mittel findet kein gerichteter Energietransport statt. Die verfügbare spektrale Leistungsdichte

W(f) = \overline{u^2}/{4R\Delta f} = k_\mathrm{B}T

vereinfacht die Schreibweise. Bemerkung: Die spektrale Leistungsdichte ist von der Dimension Energie. Das weiße Spektrum besagt: mittels der Leitung wird durch jede Spektralkomponente der Frequenz f die Schwankungsenergie kBT vom einen zum anderen Widerstand übertragen. Sie entspricht zwei Freiheitsgraden. Das ist im Einklang mit dem Übertragungsmechanismus der Energie, der untrennbar mit einer elektromagnetischen Welle verknüpft ist. Deren elektrisches und magnetisches Feld steuern je einen Freiheitsgrad bei und daher nach dem Gleichverteilungssatz je die mittlere Schwankungsenergie 1/2\,k_\mathrm{B}T.

Die bisherige Darstellung führt zur Ultraviolett-Katastrophe, weil das Integral {\int_{0}^{\infty}W(f)\mathrm{d}f} divergiert. Außerdem verlangt ein streng weißes Spektrum die Beteiligung beliebig kurzdauernde Impulse. Der Anregungsmechanismus der Wellen im Widerstand zeigt den Ausweg auf, dabei muss die Quantentheorie berücksichtigt werden. Die Quanten hf lassen sich thermodynamisch mit großer Ausbeute nur bis zur Größenordnung kBT anregen. Die obige Formel W(f) = kBT darf daher nur als Niederfrequenznäherung aufgefasst werden. Wie von der Schwarzen Strahlung bekannt ist, werden Quanten oder Photonen hf im Mittel entsprechend dem Faktor

w(hf\!/\!k_\mathrm{B}T) = \frac{1}{e^{(hf\!/\!k_\mathrm{B}T)}-1}

thermodynamisch angeregt. Er geht für große hf\!/\!k_\mathrm{B}T in den Boltzmann-Faktor e^{-hf\!/\!k_\mathrm{B}T} über.

Auf der Leitung werden die wegen der zwei wirksamen Freiheitsgrade oben als elektromagnetische identifizierten Quanten hf mit der Wahrscheinlichkeit w(hf\!/\!k_\mathrm{B}T) zwischen den Widerständen ausgetauscht. Die Quanten hf sind bei vergleichsweise kleinen thermisch zur Verfügung stehenden Energien kBT eingefroren im Sinne des Einfrierens bspw. der Rotationsfreiheitsgrade der spezifischen Wärme bei niedrigen Temperaturen. Die spektrale Leistungsdichte ist nun

W(f)=hf \;w(hf\!/\!k_\mathrm{B}T)

und integrabel mit dem Ergebnis

\overline{u_\mathrm{eff}^2}/4R = {\int_{0}^{\infty}W(f)\mathrm{d}f}=\frac{\pi^2}{6h} \;(k_\mathrm{B}T)^2 = 4{,}26\cdot10^{-8} \;\mathrm{Watt}

für die je hin oder her übertragene Gesamtleistung bei Raumtemperatur. Hinweis: \overline{u_\mathrm{eff}^2} meint hier das bei voller unendlich großer Bandbreite vorhandene mittlere Spannungquadrat, während \overline{u^2} das bei der beschränkten Bandbreite Δf gemessene ist.

Ein Vergleich: bei ebenfalls T = 300 K wird vom Schwarzen Strahler nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ungefähr dieselbe Leistung schon von einer Fläche 10 − 10 m2 in den Halbraum abgestrahlt, genauer 4{,}6\cdot10^{-8} Watt.

Das Erfordernis einer quantentheoretisch korrigierten Nyquists-Formel bezieht seine Bedeutung nicht allein aus der Begrenzung des weißen Spektrums sowie der Gesamtleistung auf einen endlichen Wert, sondern weist deutlich auf den Austausch von Quanten hf auf der Leitung hin.

In der Niederfrequenznäherung W(f) \approx hf \; (k_\mathrm{B}T\!/\!hf) gibt der Faktor k_\mathrm{B}T\!/\!hf die Anzahl der erregten Photonen an: fast 1010 Quanten sind in der elektromagnetischen Welle kondensiert bei Raumtemperatur und f = 1 kHz.

Bei T = 0,05 K ist bei der Frequenz f = 1 GHz der Ausdruck hf\!/\!k_\mathrm{B}T = 1, so dass mit

w(1 \;\mathrm{GHz})_{T=0,05 \;\mathrm{K}} = 1/1{,}718 = 0{,}58

die quantentheoretische Frequenzgrenze gerade deutlich merkbar wäre. Für alle Frequenzen bis zu 1 GHz kann die ideale „Schwarze Anordnung“ mit gängigen elektrotechnischen Mitteln kaum auch nur annähernd realisiert werden.

Hinweis: In der zitierten Originalarbeit von Nyquist (1928) fehlt ein Faktor ν in seiner Formel (8).

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

  • Heinz Bittel, Leo Storm: Rauschen. Eine Einführung zum Verständnis elektrischer Schwankungserscheinungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-05055-8
  • Johnson, J.B.: Thermal Agitation of Electricity in Conductors. In: Physical Review 32(1928) 97-109;
  • Müller, R.: Rauschen. Springer Verlag 1990, ISBN 3-540-51145-8
  • Nyquist, H.: Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors. In: Physical Review 32(1928) 110-113;

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmerauschen“
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