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Zeitkonstante

30. Aug 2008, 01:25

Die Zeitkonstante gibt allgemein den Zeitraum an, den ein exponentiell absinkender Prozess braucht, um auf 1/e (etwa 36,8 %) seines Ausgangswertes abzusinken. Ein exponentiell ansteigender Prozess wächst in diesem Zeitraum auf 63,2 % des Endwertes. Diese Zeit ist nicht mit der Halbwertszeit zu verwechseln, die den Zeitraum für ein Absinken auf 50 % bezeichnet. Beispiele wären der Abbau eines Schadstoffes in Wasser oder die Abkühlung eines Warmwasserspeichers.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Zeitkonstante in der Nachrichtentechnik und Elektrotechnik

Die Zeitkonstante τ, griechisch: tau, wird zur Festlegung des Frequenzgangs bei der Entzerrung beim Tonband, beim Rundfunksender, bei der Schallplatte und bei der Übertragung in der Digitaltechnik angegeben. Siehe auch Emphasis mit Präemphase und Deemphase.

[Bearbeiten] Zeitkonstante beim Kondensator

Für den Scheinwiderstands-Frequenzgang sind nicht die Einzelgrößen des Widerstands R und der Kapazität C des Kondensators maßgebend, sondern das Produkt R · C = τ, die Zeitkonstante mit der Einheit "Sekunde".

Spannung VC an der Kapazität nach dem Einschalten als Funktion der Zeit
Spannung VC an der Kapazität nach dem Einschalten als Funktion der Zeit
\tau = R \cdot C = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot f_c}

Die Grenzfrequenz = Übergangsfrequenz = Eckfrequenz fc (cutoff frequency) ist:

f_c = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \tau}

Bestimmungsgleichungen:

fc in Hz = 159155 / τ in µs
τ in µs = 159155 / fc in Hz

Andere nützliche Gleichungen sind:

Anstiegszeit (20 % bis 80 %) tr ≈ 1,4 • τ
Anstiegszeit (10 % bis 90 %) tr ≈ 2,2 • τ
Anstiegszeit (0 % bis 50 %) tH = ln 2 • τ ≈ 0,69 • τ

Wird an einer RC-Schaltung (Reihenschaltung aus einem Widerstand R und einem Kondensator C) eine Gleichspannung angelegt, so lädt sich der Kondensator nach und nach auf (Aufladevorgang siehe Elektrische Kapazität#Zeitkonstante). Diese Ladezeit ist abhängig von der Größe des Widerstandes und von der Kapazität des Kondensators.

Nach 5 τ ist der Kondensator auf das (1 - e-5)-fache (ca. 99,3 %) der Kapazität aufgeladen, so dass der Ladevorgang als abgeschlossen angesehen werden kann.

Nützliche Näherungswerte:

beim Laden beim Entladen
1 • τ ≈ 63.2 % 1 • τ ≈ 36.8 %
2 • τ ≈ 86.3 % 2 • τ ≈ 13.7 %
3 • τ ≈ 95 % 3 • τ ≈ 5 %
4 • τ ≈ 98.2 % 4 • τ ≈ 1.8 %
5 • τ ≈ 99.3 % 5 • τ ≈ 0.7 %

[Bearbeiten] Zeitkonstante bei einer Induktivität

Strom IL durch die Spule nach dem Einschalten als Funktion der Zeit
Strom IL durch die Spule nach dem Einschalten als Funktion der Zeit

Die Zeitkonstante wird auch in RL-Schaltungen (Schaltungen aus Widerständen und Spulen) verwendet; hier gilt:

\tau=\frac{L}{R}

Für den Scheinwiderstands-Frequenzgang sind nicht die Einzelgrößen des Widerstands R und der Induktivität L maßgebend, sondern das Verhältnis L/R, genannt Zeitkonstante mit der Einheit Sekunde (siehe Induktivität#Zeitkonstante).

Wird an eine Reihenschaltung aus Spule und Widerstand eine Gleichspannung angelegt, so fließt anfangs kein Strom, am Ende wird er nur durch den Widerstand begrenzt; hier gibt τ die Zeit an, nach der der Strom durch die Induktivität ca. 63,2 % des Endstromes erreicht hat.

Diese Anstiegszeit ist meist erheblich länger als später die Abschaltzeit des Stromes, weil der Innenwiderstand üblicher Netzgeräte oder Batterien viel geringer ist als der Widerstand des Schalters, der den Strom unterbricht. Beispiel:

  • Eine Induktivität L = 3 H besitzt den Drahtwiderstand 0,5 Ω und wird an eine Spannungsquelle mit U = 12 V und dem Innenwiderstand 0,1 Ω gelegt. Dann erreicht der Strom nach 5 s erst 12,6 A und nach 25 s 19,9 A.
  • Wird der Strom schlagartig unterbrochen, steigt der Widerstand auf beispielsweise 50 Ω (Lichtbogen). Durch diesen Widerstand fließt der ursprüngliche Strom zunächst weiter und die Spannung steigt auf 20 A·50,5 Ω = 1010 V (deshalb zündet der Lichtbogen). Der Strom fällt nach 0,06 s auf 7,4 A und ist erst nach 0,3 s praktisch erloschen.
  • Wird der Lichtbogen unterdrückt, ist der Widerstand des öffnenden Schalters deutlich größer und die induzierte Spannung steigt so weit, bis der Strom einen Weg gefunden hat, um weiterfließen zu können (Funkeninduktor).
  • Liegt antiparallel zur Induktivität eine Silizium-Freilaufdiode, durch die der Strom nach dem Abschalten fließen kann, kann die Spannung kaum über etwa 1 V steigen. Auf Grund des sehr geringen differentiellen Widerstandes des Gleichrichters steigt die Zeitkonstante nun auf 6 s. Erst dann ist der Strom durch die Spule auf 7,4 A abgeklungen.

[Bearbeiten] Zeitkonstanten mit ihren Übergangsfrequenzen einiger bekannter Normen

Zeitkonstante τ
in µs		 Übergangsfrequenz fc
in Hz		 Entzerrungs-
Norm
7958 20 RIAA
3183 50 RIAA, NAB
1592 100 -
318 500 RIAA
200 796 -
140 1137 -
120 1326 MC
100 1592 -
90 1768 MC
75 2122 RIAA
70 2274 FM
50 3183 NAB, PCM
35 4547 DIN
25 6366 -
17,5 9095 AES
15 10610 PCM

[Bearbeiten] Siehe auch:

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitkonstante“
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