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Zylinderkondensator

6. Nov 2008, 09:09

Ein idealer Zylinderkondensator ist ein Kondensator, der aus zwei elektrisch leitenden Zylindermänteln besteht, zwischen welchen sich ein Dielektrikum (Isolator) befindet. Die Zylindermäntel sind koaxial, gleich hoch, und die Grundflächen der zugehörigen Zylinder liegen in derselben Ebene.

Schematische Darstellung eines Zylinderkondensators


Im Folgenden bedeuten E elektrische Feldstärke im Kondensator, U zwischen den Zylindermänteln anliegende elektrische Spannung, Q im Kondensator gespeicherte elektrische Ladung, R1 Radius des inneren Zylindermantels, R2 Radius des äußeren Zylindermantels, l Höhe der Zylindermäntel, \varepsilon_0 elektrische Feldkonstante und \varepsilon_r Dielektrizitätskonstante des Dielektrikums. Ein realer Zylinderkondensator kann aus zwei Rohren bestehen (deren Wände im Gegensatz zum Zylindermantel nicht unendlich dünn sind), wobei dann R1 Außenradius des inneren Rohrs und R2 Innenradius des äußeren Rohres sind. Die folgenden Formeln gelten im Idealfall.

[Bearbeiten] Kapazität des Zylinderkondensators

C = 2\pi \varepsilon_0\varepsilon_r \frac{l}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}

Die Kapazität kann aus dem Elektrischen Feld wie folgt hergeleitet werden:

C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{\int \vec{E}(\vec{r})d\vec{r}} = \frac{Q}{\int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{2\pi l\varepsilon_0\varepsilon_r r}dr} = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r l}{\int\limits_{R_1}^{R2} \frac{1}{r}dr} = 2\pi \varepsilon_0\varepsilon_r \frac{l}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}

[Bearbeiten] Spannung am Zylinderkondensator

zwischen innerem und äußerem Zylindermantel

U = \frac{Q}{2\pi l \varepsilon_0\varepsilon_r}\ln{\frac{R_2}{R_1}}

[Bearbeiten] Elektrisches Feld im Zylinderkondensator

Das Feld zwischen den Zylindermänteln ist nicht homogen, sondern nimmt radial ab.

E(r) = \frac{Q}{2\pi r l \varepsilon_0 \varepsilon_r} = \frac{U}{r \ln{\frac{R_2}{R_1}}} \quad , \quad R_1 < r < R_2

Die mittlere elektrische Feldstärke entspricht der eines Plattenkondensators.

\bar{E} = \frac{1}{R_2-R_1} \int_{R_1}^{R_2} E(r) \,\mathrm{d} r = \frac{U}{R_2-R_1}

Außerhalb des Kondensators existiert im Idealfall kein von ihm verursachtes elektrisches Feld.

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Zylinderkondensator“
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