DIfferentialrechnung - Tangente an Punkt xb|yb

[StevenDaForce]

Hi,

ich schreib morgen eine Mathearbeit und da gibts eine Aufgabe die ich nicht lösen kann weil ich in der einen Stunde gefehlt habe. Ich hoffe ihr könnt Sie mir erklären und natürlich auch lösen:

Gegeben sei eine Funktion f(x) = x (2-x) (x-4)
Nullstellen sind bei 0,2,4 (is ja klar)

Gesucht wird jetzt eine Tangente am Punkt (Xb|Yb) wobei Xb > 0 sein muss
und durch den Nullpunkt (0|0) geht.

Wie stell ich das an ?

LG StevenDaForce

 

[Martin.H]

Die Gleichung der Geraden muss von der Form y=mx sein; da sie durch 0|0 geht.

Die Steigung der Funktion muss am Berührpunkt die gleiche sein wie die der Gerade, also m.
Dann musst du gleichsetzen.

Es muss gelten: (Xa|Ya) = (Xb|Yb)
und m= f'

Deine Funktion: f=-x³+6x²-8x
Die Ableitung = Steigung: f'=-3x²+12x-8

also gilt: mx=-x³+6x²-8x und
m=-3x²+12x-8

auflösen musst du jetzt selbst

btw: welche Klasse ist das?

 

[StevenDaForce]

Ist Klasse 11.

 

[Sebush McChill]

rechnest diese form in die normalform um ax³+bx"+cx+d und machst die erste ableitung damit hast du den anstieg der tangente in der stelle x

 

[StevenDaForce]

Ich weiß, dass die Steigung der Tangente der Ableitung der Funktion entspricht. Die
Frage ist ja nur WO ist der Punkt den die Tagente berührt ?

@Martin: Xa|Ya ist bei dir der Nullpunkt ?! Kannst du's mir voll auflösen ?

 

[Quidoff]

f(x) = x (2-x) (x-4)
f(x) = -x^3 + 6x^2 - 8x

P1( 0|0 )    <-- Daraus folgt, dass die Tangente keine Verschiebung in Richtung y-Achse hat => b=0
P2( x1|y1 )

g(x)=mx

Damit sich 2 Graphen berühren müssen y-Koordinate und Steigung an einer Stelle gleich sein
| g(x)  = f(x)   |
| g'(x) = f'(x)  |

g(x)=mx
f(x) = -x^3 + 6x^2 - 8x

g'(x)=m
f'(x)=-3x^2 + 12x -8

| mx = -x^3 + 6x^2 - 8x  |
| m  = -3x^2 + 12x -8    |

   (-3x^2 + 12x -8)x  =  -x^3 + 6x^2 - 8x  An dieser Stelle hätte man auch durch x teilen dürfen, da x>0
  -3x^3 + 12x^2 - 8x  =  -x^3 + 6x^2 - 8x
        -2x^3 + 6x^2  =  0
          x^2(-2x+6)  =  0

x1/2=0 nicht im Definitionsbereich

-2x+6=0
x3=3

y1=f(3)=3

P2( 3|3 )

Punkt-Steigungsform
y - y1 = m(x - x1)

m=f'(3)=1

y - 3 = 1(x - 3)
y=x

g(x)=x

So würde ich das lösen.

 

[G-D]

hätte man auch ohne gleichungssystem gekonnt, macht aber nur minimal einen unterschied:

y=mx; m=y/x

f'=m => f'=m=y/x

-3x²+12x-8=y/x
-3x³+12x²-8x-y=0
-3x³+12x²-8x-(-x³+6x²-8x)=0
-2x³+6x²=0
2x²(-x+3)=0

der rest gestaltet sich dann wie bei Quidoff

f(3) = 3
y=mx => m=y/x
m=1 => y=x

 

[Martin.H]

Oder um es allgemein zu formulieren:
an der Stelle Xa=Xb müssen beide die gleiche Steigung haben

Und dann gilt es nur noch dieses Xa bzw. Xb auszurechnen (s.o.) und über y=mx die andere Koordinate des Punktes zu bestimmen.

Gutes Gelingen morgen...

 

[phil.]

@StevenDaForce
Da hast du ja Glück gehabt. Beim nächsten mal geht so etwas nicht durch. Hier ist kein
Hausaufgabenboard.