E Funktion Schnittpunkt rechnerisch berechnen. Wo liegt mein Fehler?

ProfessX

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Guten Tag,

ich versuche gerade den Schnittpunkt

y= 12,5
f(x)=250*0,92^x

zu berechnen. Laut GTR (intersect) und Lösungsbuch kommt als Lösung 35,9 heraus. Rechnerisch bekomme ich es aber nicht hin.

Ich bin folgendermaßen vorgegangen. Zunächst setze ich erstmal die Funktion und die Gerade gleich

12,5= 250*0,92^x

Anschließend teile ich durch 250

0,05=0,92^x

Anschließend forme ich die 0,92 auf e um (1/e*0,92 = 0,3384490859)

0,05 = 0,3384490859e^x

Anschließend teile ich durch 0,3384490859

0,1477327081= e^x

Anschließend Logarithmus Naturalis (ln)
ln(0,1477327081)= -,1,91=x

Aber das Ergebnis stimmt nicht. Kann mir bitte jemand erklären wo der Fehler liegt?

edit sehe gerade
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Gut, hab das ganze mal durchgerechnet.
Bis hier ist alles gut.

0,05=0,92^x

Nun formst du, warum auch immer auf e um. Zieh einfach auf beiden Seiten den Logarithmus.

ln(0,05)=x*ln(0,92)

Dann teilst du durch ln(0,92)

ln(0,05)/ln(0,92)=x

so in den Taschenrechner eingeben komme ich auf 35,928, gerundet = 35,9.

Warum genau bringst du dort ein e ins Spiel wo gar keins rein muss? ein logarithmus ist ja nicht auf eine e-Funktion angewiesen. Der gesamte untere Teil macht bei dir meiner Meinung nach keinen Sinn, da sich diese Funtkion ganz einfach durch Umformung lösen lässt.

Hoffe ich konnte helfen :)
 
Zuletzt bearbeitet von einem Moderator:
ProfessX schrieb:
An der Stelle den ln anwenden
ln (0,05) = ln(0,92^x)

Das ist
ln (0,05) = x * ln (0,92)

Durch ln 0,92 teilen

ln(0,05)/ln(0,92) = x

35,9 = X
 
Erstmal danke :)

Wir kennen bisher nur den ln nicht den lg, den ln kann man soweit ich nur bei der basis e benutzen, oder nicht? Dann fliegt das e nämlich raus und nur der Exponent bleibt da stehen. Vielleicht sollen wir die Aufgabe aber auch noch garnicht rechnerisch lösen, sondern erstmal nur mit dem Taschenrechner. Aber gut zu wissen, dass man ln auch bei anderen Basen nehmen kann.^^
 
Zuletzt bearbeitet:
Ja.

ln = log = loge
lg = log10
ld = log2

Welche Basis du für den Logarithmus verwendest, ist aber letztlich egal; das Ergebnis ändert sich nicht.
 
Nein, man kann ln bei jeder Basis benutzen, das schöne an e ist, ist dass der ln(e) = 1, wenn man eine e-Funktion hat, was in dienem beispiel der Fall war, kann man damit halt schön rechnen.

ein paar Beispiele.

ln(e^3x) = 3x * ln(e) = 3x * 1 = 3x

ln(5^3x = 3x * ln(5) = 3x * 1,6094 = 4,8283x
 
Merci

ich hab mal ausprobiert

ln(0.05)/ln(0.92) = lg(0.05)/lg(0.05) = 35,9

ist also im Ergebnis das selbe . Ich glaub ich habs verstanden.

Aber wieso darf ich die Basis 0,92 von oben nicht in e verwandeln mittels 3 satz? e ist ja nur eine Zahl wie Pi

0,92= 0,3384490859e

dann kann ich ja nur 0,3384490859 teilen, das e^x bleibt stehen, dann ln und es bleibt nur das x und eine unsichtbare 1 stehen, leider komme ich so aber nicht auf die ~36

edit

oh ich sehe gerade

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Aufgrund der Eigenleistung bzw. zur Findung von Verständnisfragen, ist die Frage akzeptiert.
 
Da ich jetzt offiziell antworten darf:

Bin mir nicht sicher deine Frage verstanden zu haben (immer eine gute Voraussetzung zur Beantwortung^^) aber glaube du beziehst dich auf den Schritt von 0,05=0,92^x nach 0,05=0,3384490859e^x.

Hier hast du eine 'Klammer' übersehen und deshalb gehts so eigentlich nicht:

0,05 = 0,92^x = (0,92)^x = (0,3384490859 e)^x = (0,3384490859^x)*(e^x)

Der Exponent x ist wirkt also auf beide Faktoren (e und 0,3384...), da er ja vorher auch auf die 0,92 gewirkt hat.
 
Zuletzt bearbeitet:
Nochmal ein paar Worte dazu, warum in dieser Aufgabe überhaupt etwas mit dem Logarithmus gemacht wird:

Ausgenutzt wird hier eines der Logarithmusgesetze, das besagt, dass man Exponenten in Logarithmen als Faktor vor den Logarithmus schreiben darf.

log(x^y) = y*log(x)

Das geht immer und ganz unabhängig davon, welche Basis der Logarithmus hat. Meine Vorredner haben diesen 'Trick' angewandt, indem sie beide Seiten logarithmiert haben (solange sie das auf beiden Seiten machen ist es eine Äquivalenzumformung, die das Ergebnis nicht verändert).
Sie haben jetzt zufällig den ln verwendet, das hat dich vl verwirrt, weil du in deinem Lösungsansatz ja auch etwas mit e gemacht hast. Die Wahl war aber völlig beliebig, es hätte auch der Logarithmus zur Basis 1337 sein können.
Als Umformung kam dann die bekannte Division der beiden Logarithmen heraus.

Dass das richtig ist, kannst du auch an folgender Überlegung sehen:
Ausgehend von der Gleichung 0,05=0,92^x ist der Logarithmus genau die Funktion, mit der du die Gleichung nach x auflösen kannst, also x=log_{0,92}(0,05) (sprich: Der Logarithmus von 0,05 zur Basis 0,92).
Falls du schon gelernt hast,wie man solche Logarithmen mit beliebiger Basis im Taschenrechner ausrechnet wird dir etwas auffallen:
Die Lösung ist ln(0,05)/ln(0,92) und damit genau gleich dem von den Anderen hergeleiteten Wert.

(Falls du noch nicht weißt, wie man das im Taschenrechner macht: Man nimmt einen beliebigen Logarithmus, den der Taschenrechner darstellen kann und dividiert den Logarithmus des gewünschten Funktionswerts durch den Logarithmus der gewünschten Basis.
Der Grund warum das korrekt ist (und damit der Beweis, falls du den jemals brauchen kannst), ist genau die oben beschriebene Umforumung mittels Logarithmieren auf beiden Seiten.)
 
Okay, das macht sinn. Tausend dank an alle :)
 
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