Ebene aus zwei Geraden berechnen

[jusaca]

Wenn in der analytischen Geometrie zwei Geraden in Parameterform gegeben sind und ich die von den beiden Geraden beschriebene Ebene berechnen soll, muss ich zuerst den Schnittpunkt berechnen... Aber warum? Kann man nicht einfach den Stützvektor einer der Geraden als Stützvektor für die Ebene nehmen und die beiden Richtungsvektoren als Spannvektoren?

PS: Ich weiß, dass das kein Hausaufgabenforum ist, aber ich will ja gar nicht, dass mir jemand was vorrechnet. Hier treiben sich eben die ganzen Programmierer rum, die diesen Kram aus dem ff beherrschen Außerdem sinds keine Hausaufgaben^^

Grüße
jusaca

 

[M.E.]

Hallo,

Naja im R² könnte man das theoretisch machen, wenn man weiß, dass die Geraden nicht parallel sind. Allerdins macht eine Ebene im R² wenig Sinn

Im R³ können die Geraden aber noch windschief sein (neben echt parallel, identisch oder schneidend). Wenn du den Schnittpunkt berechnest, beweist du ja sozusagen erst, dass sie sich schneiden und kannst dann getrost deine Ebene aufspannen.

 

[Pawel23]

Klar kann man, aber damit kann man auch wunderbar Fehler bauen.
Das funktioniert nur, wenn du dir absolut sicher bist, dass die zwei Geraden sich schneiden. Es gibt genug Fälle, wo das nicht zutrifft. Man berechnet den Schnittpunkt nicht, um den Stützpunkt zu bekommen, sondern um zu beweisen, dass überhaupt eine Ebene durch die zwei Geraden aufgespannt wird.

 

[Stonebyte]

Theoretisch reichen die zwei Richtungsvektoren der Geraden und ein beliebiger Punkt auf einer der Geraden als Antragspunkt!

Der Schnittpunkt bestätigt dir nur, dass die zwei Geraden überhaupt eine Ebene aufspannen können.

 

[das Neutrum]

Wenn ich es richtig im Kopf habe, ist der Schnittpunkt der Geraden der Stützvektor der Ebene. Die Richtungsvektoren der Geraden sind dann die Spannvektoren der Ebene.

 

[jusaca]

Ah, klar. Das ergibt Sinn. Manchmal hilft etwas Nachdenken.

Grüße
jusaca

 

[M.E.]

Wenn ich es richtig im Kopf habe, ist der Schnittpunkt der Geraden der Stützvektor der Ebene.

Nicht zwingend. Den kann man zwar nehmen und er bietet sich auch an, wenn man ihn sowieso berechnet hat.
Aber der Stützvektor kann beliebig sein, solange der Punkt Element von mindestens einer der beiden Geraden ist.

 

[nullPtr]

Man kann sogar jeden beliebigen Punkt (dessen Ortsvektor) der späteren Ebene als Stützvektor nehmen.

Naja im R² könnte man das theoretisch machen, wenn man weiß, dass die Geraden nicht parallel sind. Allerdins macht eine Ebene im R² wenig Sinn

Auch paralelle Gerade spannen eine Ebene auf. Allerdings muss man da den zweiten Richtungsvektor etwas umständlicher berechnen.
Und im R² kann ich die aufgespannte Ebene direkt angeben, da es nur eine gibt ;D

 

[Franky90]

Du kannst auch mit dem Vektorprodukt arbeiten, aber das ist hier wohl überdimensioniert.
Schnittpunkt berechnen reicht. Der Rest ergibt sich aus dne beiden Vektoren (Geraden).

 

[jusaca]

Mit dem Vektorprodukt erhalte ich eine Orthogonale auf der Ebene, hilft mir aber weder dabei, einen Stützvektor zu bekommen, noch die Lage der beiden Geraden zueinander zu überprüfen.
Obwohl mir da gerade was einfällt... Was passiert denn eigentlich, wenn man das Kreuzprodukt von zwei windschiefen Geraden berechnet...?

 

[Franky90]

Ah, entschuldige bitte. Ich hatte den Eingangsbeitrag etwas zu hastig gelesen. Das Vektorprodukt kannst Du hier zwar verwenden, aber das wäre extrem umständlich, mach es lieber über den Schnittpunkt.

Nunja, mit dem Vektorprodukt berechnest Du einen Vektor, der du beiden gegebenen Vektoren orthogonal läuft.

 

[Airbag]

Mit dem Vektorprodukt erhalte ich eine Orthogonale auf der Ebene, hilft mir aber weder dabei,

Bei Geraden die sich schneiden erhälts du dadurch aber den Normalenvektor der Ebene in Koordinatenform. Übrigens hat man mit den zwei Stützvektoren und dem orthogonalen Vektor eine Eigenvektorbasis