Facharbeit: Berechnung von Pi mit Gauss-Legendre Algorithmus

[realshadow]

Hallo zusammen,

ein Teil meiner Facharbeit beschäftigt sich, wie im Titel bereits genannt, mit der Berechnung von PI mit dem Gauss-Legendre Algorithmus. Jetzt hab ich nur ein Problem: ich finde dazu nichts (außer bisschen englisches Wikipedia).
Der eigentliche Algorithmus ist klar, aber es geht um den mathematischen Hintergrund! Wisst ihr eine Seite, oder auch ein Buch (darf auch etwas kosten ) ?

Vielen Dank schonmal!

 

[Feuerferkel]

Google spuckt da mehr als nur einen Treffer aus auch Bücher. Das ist DEINE Facharbeit tu selbst was dafür...

 

[realshadow]

Es geht um den mathematischen Hintergrund, nicht um den Algorithmus selbst... den findest du auf jeder Seite...

 

[Vetinari]

Der Algorithmus selbst ist wirklich einfach. Auf der englischen Wiki-Seite ist sogar eines der Paper verlinkt (!), hast du dir das hier schon einmal angesehen? Ansonsten kannst du dich in einer vernünftigen Uni-Bibliothek umsehen - die bieten teilweise guten Service und suchen dir Papers zu diesem Thema zusammen.

Je nach bereits vorhandenem mathematischen Hintergrund (vielleicht magst du ja erklären in welchem Zusammenhang du diese Arbeit schreibst) und Anforderungen an die Arbeit (musst du die zugrundeliegenden Identitäten etc. selber komplett herleiten und rigoros beweisen oder reicht eine Skizze und entsprechende Verweise, was für einen Umfang soll der mathematische Hintergrund einnehmen,...) können weitere Hinweise meinerseits unterschiedlich ausfallen.

 

[realshadow]

Nein, von dem PDF hab ich nur eine Seite als Ausschnitt gefunden über Google, und ich war auf der Suche nach dem Ganzen

Also ich hab als Thema Die geschichtliche Entwicklung der mechanischen Rechenmaschine bishin zum Zeitalter der modernen Eletronik genommen. Dazu hab ich noch die Berechnung von PI mit dem Gauss-Legendre und inwieweit man diese Methode als Benchmark für CPU+Ram ansehen kann.

Das einzigst schwere an der Facharbeit ist eben, der mathematische Hintergrund der Berechnung von Pi mit dem Gauss-Legendre Algorithmus, beim Rest habe ich keine Schwierigkeiten! Achja, die Arbeit schreibe ich, weil ich im März mein Abitur mache (letzter G9-Jahrgang, Bayern, LK Mathe und Physik)

Der mathematische Hintergrund in der Facharbeit soll zum Ausdruck bringen, warum der Algorithmus zu PI führt.

Danke schonmal für diene Hilfe

 

[snow1]

Hast du hier schon einen Blick rein geworfen?

 

[realshadow]

Ist zwar nur ein Teil von dem Gauss-Legendre-Algorithmus, sollte mich aber weiter bringen Dankeschön

 

[Vetinari]

Dass die Iteration gegen Pi konvergiert ist nicht trivial und wird sich auch nicht besonders kompakt erklären lassen; ich musste mir auch einige Dinge an dem Verfahren kurz selber notieren und ausführen (kannte diese Variante noch nicht).

Meiner bescheuerten Meinung nach musst du nicht wissen WIESO dieses iterative Verfahren so gut funktioniert wie es anscheinend tut - du bist "nur" Abiturient und du willst ja nur ein Beispiel bieten, deine Arbeit dreht sich ja eigentlich um andere Dinge. Vielleicht möchtest du ja ein angemesseneres numerisches Verfahren erklären das vielleicht nicht so elegant ist - es gibt viele lustige Brute-Force-Ansätze zur numerischen Lösung von gewissen Problemen die man nicht mehr analytisch lösen kann und will. Pi kannst du auch auf diverse andere (einfachere) Arten approximativ berechnen (beispielsweise Monte-Carlo-Integration oder noch "primitiver" über diverse Reihenentwicklungen lustiger Identitäten). Das kannst du auch einfacher ausführen und vorallem selbst ohne unnötigen Mehraufwand verstehen.

Ich meine bevor du dich in Abenteuer stürzst solltest du du dir erst klar werden wie weit du abschweifen willst. Dein Betreuer sollte dir schon sagen können was du tun und lassen sollst...

 

[realshadow]

Er meinte den mathematischen Hintergrund vom englischen Wikipedia könnt ich bis auf das eliptische Integral schon verstehen, nur leider zieht es sich durch den ganzen mathematischen Hintergrund. Ich wollte Gaus-Legendre wählen, da ich damit einen Bezug zum eigentlichen Thema herstellen kann, wegen Benchmarks wie SuperPi und so. Und dann müsste ich halt erklären inwieweit dieser Benchmark sinnvoll ist. Eigentlich würde "Die geschichtliche Entwicklung der mechanischen Rechenmaschine bishin zum Zeitalter der modernen Eletronik " schon ausreichen, aber ich wollte eigentlich noch einen mathematischen Schwerpunkt drinhaben, da ich die Facharbeit ja in Mathe schreibe. Aber ich merke langsam selber, dass Gauss-Legendre doch ein LEvel zu hoch ist.


Kleine Frage nebenbei, falls ich fragen darf: Wieso kennst du Dich da so gut aus?

 

[Vetinari]

Du kannst Benchmarks auf sehr viele Arten realisieren - schon mit simplen und vergleichsweise ineffizienten Algorithmen bekommst du schon sehr schnell rechenintensive Probleme die einiges an Rechenzeit verlangen. Es ist keine Kunst ein solche Aufgabe zu stellen - es ist eine wenn man das Problem wirklich schnell lösen möchte.
In der Fahrzeugindustrie löst man beispielsweise grosse lineare Gleichungssysteme die bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen entstehen (die zugehörigen Matrizen haben teilweise Milliarden von Einträgen, wobei praktisch alle Einträge eine 0 sind) - selbst mit den aktuell performantesten iterativen Lösern dauert das einfach seine Zeit. Hier könnte man mit einer wirklich genialen Idee gutes Geld verdienen.
Die wirklich performanten Algorithmen für gewisse Problemstellungen sind in der Regel mit diversen Tricks gespickt und sollten demnach deinerseits eher gemieden werden. Einfachere numerische Probleme sind etwa die iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen mit dem Gauss-Seidel- oder Jacobi-Verfahren (primitiv und langsam), numerische Integration im eindimensionalen Fall (nur falls du schon halbwegs weisst was ein Integral ist) mittels summierter Simpson-/Trapezregel oder das Newton-Verfahren (respektive das Sekanten-Verfahren wenn man ohne Ableitung arbeiten will/muss) in einer Dimension (simpel und gut, Ableitungen wirst du ja kennen). Du kannst natürlich auch bei der Berechnung von Pi bleiben und dir eine einfachere Variante aussuchen. Mit bereits vorhandenen Programmierkenntnissen liesse sich so etwas auch gleich selber schnell implementieren.

Was du bearbeiten willst will und kann ich dir natürlich nicht vorschreiben - hoffentlich bin ich nicht zu weit abgeschweift in meinen Ausführungen und du hast zumindest eine Idee bekommen was man sonst noch tun könnte

Wieso kennst du Dich da so gut aus?

Ich studiere Physik an einer bekannten Schweizer Hochschule - die ersten beiden Jahre beinhalten hier eine saftige Packung an Mathematik zusammen mit den angehenden Mathematikern, ein Drittel meiner Credits zum Bachelor stammen aus reinen Mathe-VLen. Da auch eine entsprechende Numerik-Vorlesung dabei war habe ich auch etwas mitgenommen. "Gut auskennen" ist allerdings auch eher hoch gegriffen, ich bin kein Spezialist und nur ein wenig interessiert

 

[realshadow]

Vielen Dank für deine Antwort. Nur eines verstehe ich noch nicht ganz, du schlägst mir ja im Prinzip einfache und langsame Verfahren vor, würden die sich als Benchmark eignen? Bzw lohnenswert darüber zu diskutieren wie gut sie sich als Benchmark eignen?