Fragen zu mathematischer Aufgabe (DGL)

[max_1234]

Hallo liebes CB Forum!
Vor einiger Zeit wurde mir erstklassig mit einigen Physik-Fragen geholfen, also versuche ich dasselbe heute mal mit Mathematik.

Es geht im folgende Aufgabenstellung, ich verstehe diese noch nicht so ganz:
Für mich ist das keine Differentialgleichung, für einige meiner Kollegen sieht es auch fragwürdig aus.

Ich würde nicht fragen, wenn ich es nicht selbst über einen längeren Zeitraum versucht hätte.
Jedoch erhoffe ich mir ein bisschen Aufklärung!

Frage: Der Holzbestand eines Waldes betrug vor 10 Jahren 7000m³. Ohne Schlägerung ist er inzwischen auf 9880m³ angewachsen. Die zeitzliche Änderung des Holzbestandes H0 ist proportional zum vorhandenen Holzbestand.
- Stellen Sie die Differentialgleichung für den Holzbestand H(t) auf.
- Lösen Sie die DGL, wenn der Anfangsbestand H0 beträgt [H(t) = H0*e^k*t].
- Berechnen Sie die Zeitspanne, in der sich der Holzbestand verdoppelt.
- In drei Jahren möchte man 3000m³ Holz schlagen. Wann wird der Wald den heitigen Holzbestand wieder erreichen?


Ich stehe hierbei leider völlig auf dem Schlauch.
Kann mir jemand den Lösungsweg aufzeigen?

mfg,
Max

 

[simpsonsfan]

Die zeitzliche Änderung des Holzbestandes ist proportional zum vorhandenen Holzbestand.

Das ergibt eine DGL.

Wo genau ergibt sich denn das Problem bei dir? Wenn du das Aufstellen der DGL mal aussen vor lässt, kannst du ja trotzdem weiter rechnen, du hast die Lösung selbiger ja in der zweiten Teilaufgabe angegeben. Diese löst du dann mit den beiden angebenen Punkten nach k auf und kannst anschließend weiterrechnen.

 

[max_1234]

Meine Wachstumskonstante k ergab 0,3445
Der Wachstumsfaktor selbst ergab 1,4114

Kannst du das bestätigen? Ich lese mich erst seit einer Woche in das Thema ein.

Weiters weiß ich nicht, wie ich die DGL darstellen soll.

 

[simpsonsfan]

k passt so. Wenn auch zu tief gerundet. Ich weiß grad nicht, was du mit Wachstumsfaktor meinst, müsst ich erst nachschauen.

Ah, das wär dann aber in deinem Fall ein 10 Jahresschritt für deinen Wachstumsfaktor.
Und bei k ja auch, schieb das k einfach noch eine Stelle nach rechts.

Was die DGL angeht, musst du eigentlich nur den Satz von Worten in mathematische Symbole packen. Üblicherweise wird dabei halt für eine Proportionalitätskonstante k verwendet.

 

[max_1234]

Ok, ich habe vermutlich falsch gerechnet.
Meine Wachstumskonstante bildet sich aus meinem Wachstumsfaktor, welchen ich im zugrunde liegenden Zeitraum von 10 Jahren berechnet habe.

Mein Gedanke ist offensichtlich falsch, da der Wald sich ja nicht linear ausbreitet, sondern wohl exponentiell.
Ich habe die vorhandene Menge H(t) [9880m³ nach 10 Jahren] durch den Anfangsbestand vor 10 Jahren H0 [7000m³] genommen.
Anhand einiger Beispiele im Internet habe ich daraus den ln(a) berechnet, was für mich bereits die Wachstumskonstante k war.

Deshalb brauche ich zu dieser Aufgabe eine Musterlösung, ich möchte sie verstehen und im Endeffekt auf andere Aufgaben übertragen können

 

[simpsonsfan]

Naja, du hast halt vergessen, durch 10 zu teilen. Es gilt ja:

H(t) = H0 * e^(kt),​

also

H(0) = 7000 * e^0​

und weiter

H(10) = 9880 = 7000 * e^(k*10)​

damit ergibt sich

ln(9880/7000) = k*10​

woraus dann k folgt.

Jetzt nur immer noch beachten, dass heute t=10 Jahre bedeutet und alles passt.

 

[max_1234]

Das ergibt echt Sinn, danke dir!
Dann war ich eh auf dem richtigen Weg.

Eine relativ dumme Frage darf hierbei aber nicht fehlen: was genau beschreibt "e"?
Ich habe einige Beispiele gesehen, in der "e" einfach durch einen weiteren ln aufgelöst wird.

Hier hänge ich gerade gedanklich fest:
H(10) = 7000*e^0,3446*10 | ln

 

[simpsonsfan]

Uh, dann fehlen aber Grundlagen.

Ich dachte, das geht in einem Schritt, erst durch 7000 teilen, dann auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden

ln (9880/7000) = ln (e^(k*10)) = k*10

e ist die Eulersche Zahl, ca. 2,71 und der ln ist quasi die Umkehrfunktion dazu (zur Exponentialfunktion e^x). Also ln(e^1) = 1; ln(e^2) = 2 usw.

Weiterhin ist die Exponentialfunktion e^x oder auch exp(x) geschrieben neben Nullfunktionen die Funktion, für die die DGL f' = f erfüllt ist.

 

[max_1234]

Das verstehe ich, es scheint mir ziemlich einfach wenn man es mal kann.
Du hast mir hier bereits Lektüre erklärt, die sonst über 30 Seiten gestreckt wird und ohne ein Dauerstudium kaum begreifbar ist.

Liege ich mit dem Schritt richtig, die "Gleichung" durch ln aufzulösen?
Mir erschließt sich die Logik nicht, wenn ich aus H(10) den ln berechne, dieses Ergebnis wird doch nicht gesucht oder?
Wie genau sieht das Ergebnis dieser DGL aus? Beschreibt diese nur die Anpassung der DGL, so dass am Ende die in der Augabenstellung angegebene Lösung heraus kommt?

Nachdem ich (hoffentlich bald) die Schritte der ersten 2 Punkte vor mir habe, sollte ich die letzten 2 selbst lösen können
Und hier als kleiner Einwurf: Danke für deine bisherigen Antworten.
Ich möchte im Herbst mein Abi in einem Schnellkurs nachholen, wobei ich versuche diese art von Aufgabe bereits jetzt zu erlernen.

 

[simpsonsfan]

Ja, du musst mit dem ln die Gleichung auflösen. Dabei solltest du darauf achten, dass auf der einen Seite nur e^(variable) steht, da das dann durch den ln aufgelöst wird, da ln(exp(x))=x, links ist H(10)=9880 ja bekannt, das ist also nachher eine Konstante, die nicht von k abhängt. Und wie gesagt, in besagter Zeile musst du eben vorher noch durch die 7000 teilen.

Bei der letzten Aufgabe musst du halt v.a. mit den Jahren aufpassen, und einfach bedenken, dass das Wachstumsgesetz, sprich k, gleich bleibt.

Und als weiteren Tipp fürs Mathe-Abi: Setze dich mit deinem Taschenrechner auseinander und lerne die Möglichkeiten, die er bietet. Falls du einen normalen Grafikrechner ohne CAS hast, bietet sich z.B. zum Gleichungen lösen oft auch das Grafikmenü an, indem man beide Seiten der Gleichung als Funktion eingibt.

 

[max_1234]

Dann habe ich folgendes vor mir:

ln[H(10)] = 7000*3,446 = 24.122
Siehst du wie ich gerade hier hänge?
Eine Auflösung nach t (τ wie tau) würde ich vermutlich anhand eines vor mir liegenden Beispiels hinbekommen.
Aber hier erschließt sich mir gerade keine Richtung ...


Zum TR: Ich verwende einen simplen Texas Instruments, ohne weitere Programme.

 

[simpsonsfan]

TI vertreibt übrigens mehrere Modelle, und da wir Casio hatten, kenne ich mich mit deinem spezifischen Modell eh nicht aus. Aber wenn er grafikfähig ist, gilt das immer noch.

Und ich weiß jetzt grade nicht, wie du auf deine Zeile kommst. Bei genauer Betrachtung fällt mir auch auf, dass du dort oben schon ein k eingesetzt hast. Das ist natürlich nicht Sinn und Zweck, denn genau dieses willst du ja aus der Gleichung berechnen. Und ich wiederhole nochmal, teile zuerst durch die 7000, natürlich auf beiden Seiten, denn nur dann kannst du den ln vernünftig bilden.

Sonst hast du ln(H(10)) = ln(7000 * exp(k*10)) dastehen, was dir nicht viel hilft.
Wie gesagt, t ist ja bekannt, also konstant, was du hier ausrechnen willst ist k, wobei nach k aufzulösen eben so geht, wie nach t aufzulösen in diesem Bsp.

 

[phil.]

Hier lesen und beachten.