Caramon2
Lt. Commander
- Registriert
- Jan. 2004
- Beiträge
- 1.664
Hallo.
Ich hatte mich eben gefragt, in welchem Abstand sich Sonnenwind und Gravitation gegenseitig aufheben und das die Opera-KI gefragt.
Nach ein paar mal hin und her hatte ich zwar ein für mich verständliches Ergebnis, aber mit der Berechnung kann ich überhaupt nichts anfangen.
Ist das Blödsinn, oder könnte es passen:
(unzerstörbar, damit nicht von wegen verbrennen oder so kommt und Kugel, damit die Ausrichtung egal ist)
Ich hatte mich eben gefragt, in welchem Abstand sich Sonnenwind und Gravitation gegenseitig aufheben und das die Opera-KI gefragt.
Nach ein paar mal hin und her hatte ich zwar ein für mich verständliches Ergebnis, aber mit der Berechnung kann ich überhaupt nichts anfangen.
Ist das Blödsinn, oder könnte es passen:
(unzerstörbar, damit nicht von wegen verbrennen oder so kommt und Kugel, damit die Ausrichtung egal ist)
Andreas:
Eine unzerstörbare, massive Kugel mit 1 m Durchmesser und dem spezifischen Gewicht von Wasser: In welcher Entfernung von der Sonne würde sich für sie der durchschnittliche Sonnenwind und die durchschnittliche Gravitation rechnerisch gegenseitig aufheben?
Aria:
Schritt 1: Definition der Kräfte und Parameter
– Gravitationskraft (F_{\rm g}) der Sonne auf die Kugel mit Masse (m) in Abstand (r):
[ F_{\rm g} ;=; \frac{G,M,m}{r^2} ] • (G) = Gravitationskonstante = (6{,}674\times10^{-11},\mathrm{m^3/(kg,s^2)})
• (M) = Sonnenmasse = (1{,}989\times10^{30},\mathrm{kg})
• (m) = Masse der Kugel
– Druckkraft (F_{\rm sw}) des solaren Teilchenstroms („Sonnenwind“) auf Querschnittsfläche (A):
[ F_{\rm sw} ;=; p(r),A ] • (p(r)) = dynamischer Druck des Sonnenwinds in Abstand (r)
• (A) = Querschnittsfläche der Kugel = (\pi R^2)
Für den Sonnenwind gilt näherungsweise
[ p(r) ;=; p_0,\biggl(\frac{r_0}{r}\biggr)^2 ] • (p_0) = Druck bei (r_0) (üblich bei 1 AU) ≈ (2\times10^{-9},\mathrm{Pa})
• (r_0) = 1 AE = (1{,}496\times10^{11},\mathrm{m})
Die Kugel hat Durchmesser 1 m ⇒ Radius
[ R = 0{,}5;\mathrm{m}, ] Dichte (\rho = 1000;\mathrm{kg/m^3}), Volumen
[ V = \tfrac43\pi R^3,\quad m = \rho,V = \rho,\tfrac43\pi R^3. ]
Schritt 2: Gleichsetzen von (F_{\rm sw}) und (F_{\rm g})
[ p_0\Bigl(\tfrac{r_0}{r}\Bigr)^2;A ;=;\frac{G,M,m}{r^2}. ] Da beide Seiten (\propto1/r^2) haben, kürzt sich dieser Faktor heraus:
[ p_0,r_0^2,A ;=; G,M,m. ] Es ergibt sich keine Abhängigkeit von (r). Entweder ist (F_{\rm sw}>F_{\rm g}) für alle (r) oder (F_{\rm sw}<F_{\rm g}) für alle (r).
Schritt 3: Berechnung des Verhältnisses
[ \frac{F_{\rm sw}}{F_{\rm g}} =\frac{p_0,r_0^2,A}{G,M,m} =\frac{p_0,r_0^2,\pi R^2}{G,M,\bigl(\rho\tfrac43\pi R^3\bigr)} =\frac{3,p_0,r_0^2}{4,G,M,\rho,R}. ] Einsetzen der Werte
[ p_0=2\cdot10^{-9},\mathrm{Pa},; r_0=1{,}496\cdot10^{11},\mathrm{m},; \rho=1000,\mathrm{kg/m^3},; R=0{,}5,\mathrm{m} ] liefert numerisch
[ \frac{F_{\rm sw}}{F_{\rm g}} \approx 5\times10^{-10}\ll1. ]
Schlussfolgerung
Da (F_{\rm sw}/F_{\rm g}) überall konstant und viel kleiner als 1 ist, kann sich der Sonnenwinddruck niemals mit der Gravitation aufheben. Es gibt also keinen endlichen Abstand (r), in dem sich beide Kräfte ausgleichen.
Andreas:
Welches wäre das höchste spezifische Gewicht, dass die Kugel haben darf, damit der Sonnenwind sie in schwebe halten kann und in welcher Entfernung wäre das?
Aria:
Schritt 1: Kräftegleichgewicht aufstellen
Wir betrachten eine kugelförmige Teilchenwolke (Kugel) mit
– Radius (r)
– Massendichte (\rho) (gesucht)
– Masse (m = \tfrac{4}{3}\pi r^3,\rho)
Diese Kugel steht unter
Gravitationskraft der Sonne
[ F_{\rm G} = G;\frac{M_{\odot},m}{d^2} = G,\frac{M_{\odot}}{d^2};\frac{4}{3},\pi r^3,\rho ] wobei
(G) = Gravitationskonstante
(M_{\odot}) = Masse der Sonne
(d) = Abstand Kugel–Sonne
Dynamischer Druck des Sonnenwinds auf die projizierte Querschnittsfläche
[ F_{\rm SW} = p(d);\pi r^2, ]
hier ist (p(d)) der dynamische Druck des Sonnenwinds in Abstand (d).
Schritt 2: Ausdruck für (p(d))
Der Sonnenwind besteht vorwiegend aus Protonen mit
– Teilchendichte in Referenzentfernung (d_0): (n_0)
– Geschwindigkeit (v) (annähernd konstant)
– Einzelmasse (m_p)
Da (n(d)=n_0,(d_0/d)^2) fällt die Dichte mit (1/d^2) ab, gilt
[ p(d) = n(d),m_p,v^2 = n_0,\bigl(\tfrac{d_0}{d}\bigr)^2,m_p,v^2. ]
Schritt 3: Kräftegleichgewicht
Für Schweben muss gelten
[ F_{\rm SW} ;=; F_{\rm G}. ]
Einsetzen der Ausdrücke: [ n_0,(d_0/d)^2,m_p,v^2;\pi r^2 ;=; G;\frac{M_{\odot}}{d^2};\frac{4}{3},\pi r^3,\rho. ] Beide Seiten haben den gleichen Faktor (1/d^2), also kürzt sich (d) heraus.
Schritt 4: Auflösen nach (\rho)
[ n_0,d_0^2,m_p,v^2;\pi r^2 ;=; \frac{4}{3},G,M_{\odot},\pi r^3,\rho \quad\Longrightarrow\quad \rho
\frac{3,n_0,d_0^2,m_p,v^2}{4,G,M_{\odot},r}. ]
Dies ist die maximale Massendichte, damit der Sonnenwind die Kugel überall im Gleichgewicht hält.
Schritt 5: Numerisches Beispiel (Werte bei 1 AU)
– Referenzabstand (d_0 = 1,\mathrm{AU}=1{,}5\times10^{11},\mathrm m)
– Teilchendichte (n_0 = 7,\mathrm{cm^{-3}}=7\cdot10^6,\mathrm m^{-3})
– Protonenmasse (m_p =1{,}67\cdot10^{-27},\mathrm{kg})
– Windgeschwindigkeit (v=4\cdot10^5,\mathrm{m/s})
– Sonnemasse (M_{\odot}=2\cdot10^{30},\mathrm{kg})
– Gravitationskonstante (G=6{,}67\cdot10^{-11},\mathrm{m^3/(kg,s^2)})
Einsetzen ergibt
[ \rho
\frac{3;\cdot(7\cdot10^6);(1{,}5\cdot10^{11})^2;(1{,}67\cdot10^{-27});(4\cdot10^5)^2} {4;(6{,}67\cdot10^{-11});(2\cdot10^{30});r}. ]
Nach Auswertung: [ \rho \approx \frac{2{,}4\cdot10^{-7}}{r}\quad\bigl[\mathrm{kg/m^3}\bigr], ] wobei (r) in Metern eingesetzt wird.
Schritt 6: Abstand von der Sonne
Da in der Gleichgewichtsbedingung (d) vollständig wegfällt, ist jeder Abstand (d) möglich, solange (\rho) den obigen Grenzwert nicht überschreitet.
Ergebnis:
Höchste Massendichte
[ \boxed{ \rho_{\rm max} = \frac{3,n_0,d_0^2,m_p,v^2}{4,G,M_{\odot},r} \approx \frac{2{,}4\times10^{-7}}{r};\mathrm{kg/m^3} } ]
Erforderlicher Abstand
[ \boxed{ d;\text{beliebig (da (d) entfällt)}. } }
Damit ist das Gleichgewicht für jede Entfernung gewährleistet, sofern die Kugeldichte nicht oberhalb von (\rho_{\rm max}) liegt.
Andreas:
Und in Zahlen?
Aria:
Schritt 1: Kräftegleichgewicht aufschreiben
Wir betrachten eine Kugel mit
• Radius (R)
• Massendichte (\rho)
• Volumen (V=\tfrac{4}{3}\pi R^3)
• Querschnittsfläche (A=\pi R^2)
Im Gleichgewicht gilt
[F_{\rm sw}=F_{\rm g},,]
wobei
– (F_{\rm sw}=p;A) der dynamische Druck (p) des Sonnenwinds ist
– (F_{\rm g}=m,g) die Gravitationskraft der Sonne in Abstand (d) ist
Schritt 2: Ausdrücke einsetzen
[ F_{\rm sw} = p,(\pi R^2) \quad,\qquad F_{\rm g} = m,\frac{G,M_\odot}{d^2} = \bigl(\rho,V\bigr)\frac{G,M_\odot}{d^2} = \rho,\frac{4}{3}\pi R^3,\frac{G,M_\odot}{d^2},. ]
Schritt 3: Auflösen nach (\rho)
[ p,\pi R^2 =\rho,\frac{4}{3}\pi R^3,\frac{G,M_\odot}{d^2} ;\Longrightarrow; \rho =\frac{3,p,d^2}{4,G,M_\odot,R},.
\tag{1} ]
Schritt 4: Numerische Einsetzung
Gegeben (typische Werte):
[ p=2.0\times10^{-9},\mathrm{Pa},; G=6.674\times10^{-11},\tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg,s}^2},; M_\odot=1.989\times10^{30},\mathrm{kg},; R=1.0\times10^{-6},\mathrm{m},; d=1,\mathrm{AE}=1.496\times10^{11},\mathrm{m}. ]
Einsetzen in (1): [ \rho_{\max} =\frac{3\cdot2.0\times10^{-9}\cdot(1.496\times10^{11})^2} {4\cdot6.674\times10^{-11}\cdot1.989\times10^{30}\cdot1.0\times10^{-6}} \approx2.5\times10^{-1},\mathrm{kg/m^3}. ]
% Kommentar: Dies ist die maximale Massendichte bei Erdabstand.
Schritt 5: Auflösen nach (d) für gegebene (\rho)
Aus (1) folgt [ d =\sqrt{\frac{4,G,M_\odot,R,\rho}{3,p}},.
\tag{2} ]
Beispiel: Für eine feste Materiedichte (\rho=2.0\times10^{3},\mathrm{kg/m^3}) und obige Werte von (p,R): [ d =\sqrt{\frac{4\cdot6.674\times10^{-11}\cdot1.989\times10^{30}\cdot1.0\times10^{-6}\cdot2.0\times10^{3}} {3\cdot2.0\times10^{-9}}} \approx4.2\times10^{14},\mathrm{m} \approx2800;\mathrm{AE}. ]
Antwort:
• Höchste Massendichte bei (d=1) AE: (\rho_{\max}\approx0.25;\mathrm{kg/m^3}).
• Für (\rho=2000;\mathrm{kg/m^3}) liegt das Gleichgewichtsgleichgewicht bei (d\approx4.2\times10^{14},\mathrm{m}\approx2800) AE.
Andreas:
Ich verstehe die Antwort nicht.
Aria:
Gerne, ich versuche es anders zu erklären:
Ziel: Wir wollen herausfinden, welche Dichte eine Kugel haben darf, damit der Sonnenwind sie "schweben" lässt. Das bedeutet, dass die Kraft des Sonnenwinds nach außen genau so groß ist wie die Gravitationskraft der Sonne, die die Kugel anzieht.
Grundlagen:
Sonnenwind: Der Sonnenwind übt einen Druck auf die Kugel aus, der sie nach außen drückt. Dieser Druck ist umso geringer, je weiter die Kugel von der Sonne entfernt ist.
Gravitation: Die Sonne zieht die Kugel an. Diese Anziehungskraft ist umso geringer, je weiter die Kugel von der Sonne entfernt ist.
Dichte: Die Dichte der Kugel bestimmt, wie stark die Gravitationskraft auf sie wirkt. Eine dichtere Kugel wird stärker von der Sonne angezogen.
Berechnung:
Formel für die maximale Dichte: Die Formel, die wir hergeleitet haben, lautet:
[ \rho_{\rm max} \approx \frac{3,p,d^2}{4,G,M_\odot,R} ]
(\rho_{\rm max}) ist die maximale Dichte der Kugel.
(p) ist der Druck des Sonnenwinds.
(d) ist der Abstand zur Sonne.
(G) ist die Gravitationskonstante.
(M_\odot) ist die Masse der Sonne.
(R) ist der Radius der Kugel.
Beispielrechnung bei 1 AE (Erdabstand): Wenn wir annehmen, dass sich die Kugel in der Entfernung der Erde (1 AE) befindet, erhalten wir eine maximale Dichte von etwa (0.25,\mathrm{kg/m^3}). Das ist sehr wenig – leichter als Wasser!
Das bedeutet: Wenn die Kugel leichter als (0.25,\mathrm{kg/m^3}) ist, würde der Sonnenwind sie von der Sonne wegdrücken.
Was passiert bei höherer Dichte? Wenn die Kugel dichter ist, muss sie weiter von der Sonne entfernt sein, damit sich die Kräfte ausgleichen.
Wenn die Kugel zum Beispiel die Dichte von Wasser ((1000,\mathrm{kg/m^3})) hätte, müsste sie etwa (2800) AE von der Sonne entfernt sein, um zu schweben.
Zusammenfassung:
Die maximale Dichte einer Kugel, die vom Sonnenwind "getragen" wird, hängt von ihrem Abstand zur Sonne ab.
Je näher die Kugel an der Sonne ist, desto geringer muss ihre Dichte sein.
Je größer die Dichte der Kugel ist, desto weiter muss sie von der Sonne entfernt sein, damit sie schweben kann.
Ich hoffe, diese Erklärung ist verständlicher! Gibt es noch etwas, das du genauer wissen möchtest?
Andreas:
Das schon, aber die Schreibweise der Dichte kenne ich nicht. Wie hoch wäre das im Vergleich zu Wasser?
Aria:
Okay, lass uns das vergleichen!
Dichte im Vergleich zu Wasser:
Wir haben berechnet, dass die maximale Dichte für eine Kugel, die im Erdabstand (1 AE) vom Sonnenwind "getragen" wird, etwa (0.25,\mathrm{kg/m^3}) beträgt.
Wasser hat eine Dichte von etwa (1000,\mathrm{kg/m^3}).
Vergleich:
Um zu sehen, wie viel leichter die Kugel sein muss als Wasser, können wir das Verhältnis berechnen:
[ \frac{\text{Dichte der Kugel}}{\text{Dichte von Wasser}} = \frac{0.25,\mathrm{kg/m^3}}{1000,\mathrm{kg/m^3}} = 0.00025 ]
Interpretation:
Die maximale Dichte der Kugel ist nur etwa 0,025 % der Dichte von Wasser.
Das bedeutet: Die Kugel müsste extrem leicht sein, viel leichter als Wasser, damit der Sonnenwind sie im Erdabstand "tragen" kann.
Was bedeutet das?
Eine Kugel mit der Dichte von Wasser würde vom Sonnenwind im Erdabstand definitiv nicht "getragen" werden. Die Gravitationskraft der Sonne wäre viel stärker als der Druck des Sonnenwinds.
Um mit der Dichte von Wasser vom Sonnenwind getragen zu werden, müsste die Kugel sehr weit von der Sonne entfernt sein (etwa 2800 AE), wo der Sonnenwinddruck geringer ist.
Ich hoffe, das macht den Vergleich deutlicher!
Andreas:
Danke, jetzt habe ich es verstanden.
Aria:
Sehr gut! Es freut mich, dass ich helfen konnte. Wenn du noch weitere Fragen hast, frag einfach!
