Lagrange-Multiplikator [Optimierungsproblem]

[T&T]

Hi,

hier werden desöfteren Mathefragen gestellt, nun hab ich mal eine Bin Maschinenbau-Studi im 3. Semester wir haben grad das Thema "Optimierung unter Gleichungsnebenbedingungen". Ist zwar ein bisschen anspruchsvoller das ganze, aber vllt. gibts es ja ein paar die das können

Also die zu Optimierende (Extremwertbestimmung) Funktion lautet:

f(x;y)=x*y

Die Gleichungsnebenbedingung:
p(x;y)=x²+y²-a²=0

Es sollten, wie gesagt, die Extremewerte der Funktion berechnet werden, leider hab ich nur die Lösung aber nicht den kompletten Lösungsweg

Ich bin so vorgegangen:
1)Bildung der Lagrangefunktion (Hilfsfunktion)
F(x;y;q) = f(x;y)+q*p(x;y;q) =x*y+q*(x²+y²-a²)

2) Partielle Ableitung der Funktion F(x;y;q) nach x,y,q (diese Ableitungen müssen gleich null sein)
Dann bekommt man drei Gleichungen die lauten:

I: y+2q*x=0 (Ableitung der Funktion F nach x)
II: x+2q*y=0 (Ableitung der Funktion F nach y)
III: x²+y²-a²=0 (Ableitung der Funktion F nach q)

3)Gleichungssystem lösen:
dann kommt ich auf so komische Werte wie

q=1/16 (ok, klingt noch glaubhaft)
y=(64/65)^(0,5)*a
x=-1/8*(64/65)^(0,5)*a =-0,12403*a

x,y soll der Ort des Extremums
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Laut Lösung sollte folgendes rauskommen:
Maximum bei:
x1=a/2*2^(0,5) ; y1=a/2*2^(0,5)
x2=-a/2*2^(0,5) ; y2= -a/2*^(0,5)

Minimum bei:
x3= -a/2*2^(0,5) ; y3=a/2*2^(0,5)
x4=a/2*2^(0,5) ; y4=-a/2*2^(0,5)

---
Also ich hab keinen Plan wie die auf solche Ergebnisse kommen, vllt. hat ja jemand nen Lösungsvorschlag. Achja, wenn ich den Ort des Extremums kenne (x,y) wie weiß ich ob es ein Maximum oder ein Minimum ist? Im Mathe Skript steht leider auch nix brauchbares (nur die Vorgehensweise), und in der Matheformelsammlung (Papula) ist der Lagrange-Multiplikator nicht erwähnt.

Hier mal ein bisschen Stoff zum Lagrange-Multiplikator
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator



Edit:
Ich hab gesehen ich hab mich verrechnet: q=0,5
Nun komme ich auf folgende Ergebnisse:

x=-(0,5)^(0,5)*a = -a/2*2^(0,5)
y=(0,5)^(0,5)*a = a/2*2^(0,5)

müsste also stimmen
aber die Frage bleibt: Wie weiß ich jetzt ob es ein Maximum oder Minimum ist?
Und warum gibt es jeweils zwei davon?

 

[narnia]

Wenn ich mich recht erinnere gibt es bei der Lagrangeschen Multiplikatorenregel kein "Rezept" um Minima/Maxima zu unterscheiden. Man untersucht ja eine Funktionalmatrix auf Nullstellen. Das liefert aber nur Kandidaten für Extrema! Ob die gefundenen Werte tatsächlich Extrema sind und falls ja, welcher Art diese sind muß gesondert untersucht werden. Das ist aber mit bestimmten Argumenten (z.B. Kompaktheit der Nullstellenmenge, Stetigkeit) oft nicht schwer.

 

[--Sirius--]

Wie bestimmt man nach dem Lagrange obs ein Minimum oder Maximum ist?

Wenn es sich nicht schon logisch aus der Aufgabe ergibt macht man das im groben wie früher als man nur mit einer normalen Funktion zu rechnen hatte. Man bildet die 2. Ableitung(en). Hier nennt sich das ganze "die geränderte Hesse-Matrix", die du auf definitheit überprüfen musst. In der stehen die 2. Ableitungen der Funktion und die ersten Ableitungen der Nebenbedingung. Wenn du davon noch nix gehört hast musst du das wohl auch nicht machen. Das kann man leider auch nicht einfach so erklären da es recht komplex ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Hessematrix

Was du mit " Und warum gibt es jeweils zwei davon?" meinst, weis ich leider nicht. Meinst du die Punkte x und y oder die Extrempunkte?

 

[T&T]

ah, schon mal danke für die Antworten
Ja, hab ich mir schon gedacht, dass es kein "Rezept" gibt, im Skript steht auch immer nur:

"Der Punkt (x1,...,xn) ist Ort eines möglichen Extremums.
Die Frange nach dem Typ des Extremums (max/min) ist hiermit noch nicht entscheidbar!"

Aber aus der Fragestellung geht es meistens sowie hervor ob es ein Maximum oder Miniumum ist

@--Sirius--
Mit der Frage meinte ich warum es jeweils zwei Minima sowie Maxima gibt, aber ich glaube, ich habe die Antwort selbst gefunden:
Aus den Gleichungen (I-III) geht hervor, dass
I. q=0,5
II. x=-y
III. 2y²=a²
ist => Somit gibt jeweils zwei Lösungen für x bzw. y

Also nochmal danke, und falls ich was falsch gemacht habe oder jemand was ergänzen möchte, nur zu