stochastik: herleitung erwartungswert

[hasugoon]

hallo zusammen, ich versuche grade den erwartungswert einer stetigen verteilung (weibull) herzuleiten.
der erwartungswert ist gegeben durch integral(x*f(x))dx in den grenzen 0 bis unendlich mit f(x)=alpha*beta*x^(beta-1)*exp(-alpha*x^beta) - wobei alpha und beta die parameter der weibullverteilung sind.
nun möchte ich von diesem integral auf E(X)=alpha^(-1/beta)*gamma(1/beta+1) mit gamma(1/beta+1)=integral(x^(1/beta)*exp(-x))dx schließen

meine bisherigen versuche sind alle gescheitert, indem ich versucht habe das integral aufzulösen, bzw. in eine form des gamma-integrals zu bringen. lässt sich das überhaupt so herleiten?

 

[MR.FReeZe]

Ist das alles so richtig abgeschrieben?

Hab noch nicht richtig mit der eigentlichen aufgabe angefangen, aber wenn ich 1/(Beta+1) in die Gamma funktion (Die ist doch anscheinend gemeint oder? http://de.wikipedia.org/wiki/Gamma-Funktion) einsetze kommt bei mir nicht das Gewuenschte raus :-/

 

[Götterwind]

@MR.FReeZe

Hi!

@CsA-eViL
Wenn ich das richtig überflogen habe, dann musst du nur umsubstituieren alpha*beta*x = y (alpha und beta sind Konstanten, somit alpha*beta*dx=dy), alles einsetzen und zum Schluß o.B.d.A. y=x setzen. Voilá!

 

[hasugoon]

nun wenn ich so substituiere und den teil ableite kommt 1 raus. allerdings integriere ich dann das integral über y, hab aber noch x^(beta-1)*exp(-alpha^beta) übrig und das x stört dann ganz gewaltig oO
ich könnte auch numerisch integrieren oder ne reihenentwicklung machen... ach herleiten ist immer so schön^^ wenn der proff das an der tafel macht, sieht das immer so einfach aus.

 

[Götterwind]

Wo ist denn dein Problem? Wo willst du was ableiten? Das Differential von dy ist a*b*dx - Umstellen, Einsetzen, fertig! Logischerweise ist a*b*x=y -> Umstellen, Einsetzen... Die Grenzen des Integrals ändern sich ja nicht (kein Offset oder ähnliches). Ich schreibe mal ein Dokument dazu...

edit: ich sehe grad was: Ist es wirklich f(x)=alpha*beta*x^(beta-1)*exp(-alpha*x^beta), oder f(x)=alpha*beta*x^(beta-1)*exp(-alpha*x*beta)?

edit2: ok, die erste Variante stimmt, geht mit Substitution. Doc ist angehangen. Musst aber noch etwas "Fleisch" reinbasteln und begründen. Alle mache ich jetzt nicht.

 

[hasugoon]

vielen dank götterwind, mit alpha*x^beta = y bin ich jetzt auch weitergekommen. ich konnte auch alles nachvollziehn und habs bis zum schluß durchgerechnet.
jetzt kenn ich auch die bedeutung von o.B.d.A

edit: die herleitung der varianz ging dadurch auch problemlos