Wichtige Frage zur Bestimmung von Variabeln bei Polynomen

[Countdown2]

Hallo,

bin zurzeit auf einem Berufskolleg (entspricht der 11. Klasse) und in Mathe nehmen wir Polynome 2., 3. und 4. Grades durch.

Allerdings verstehe ich einfach nicht, wie man die Variablen rausbekommt. Unser Lehrer rechnet uns das so vor:

Gegeben sind 3 Punkte:

(Punktprobe anhand der Gleichung f(x)=ax²+bx+c)

P1 (2 | -10) Punktprobe für P1: 4a+2b+c = -10

P2 (8 | -19) Punktprobe für P2: 64a+8b+c = -19

P3 (-4 / 17) Punktprobe für P3: 16a-4b+c = 17

P1 - P2) -60a-6b = 9
P3) - P1) 12a-6 = 27

_______________

-72a = -18

Daraus ergibt sich dann: a = 1/4
b = -4
c = -3

f(x) = 1/4 x²-4x-3



Die Rechenschritte kann ich bei dieser Aufgabe einigermaßen nachvollziehen, aber sobald ich andere Punkte bekomme, bleibe ich einfach mitten in der Aufgabe stecken.

Z.B. bei dieser:

P1 (-5 | 1)
P2 (-1 | -4 1/3)
P3 (6 | 12)

Wenn ich hier wie oben vorgehe, mache ich zuerst einmal die Punktproben:

P1) 25a-5b+c=1
P2) a-b+c=-4 1/3
P3) 36a+6b+c=12

Dann

P1) - P2) 24a-4b=5 1/3
P3 - P1) 11a+11b=11
_____________________

13a+7b= -6 1/3

Aber jetzt sind hier ja 2 Variable in der Gleichung, aber oben in der richtigen Aufgabe ist ja nur a und eine Zahl ohne Variable. Entweder habe ich schon vorher etwas falsch gemacht oder ich komm einfach nicht drauf, wie es weitergeht.

Unser Lehrer meinte, dass die Variablen a, b und c bei dieser Aufgabe zusammengerechnet -3 ergeben. Aber wie muss ich diese Aufgabe eigentlich rechnen? Wenn's geht, bitte den gleichen Rechenweg wie oben, sonst verstehe ich gar nix mehr.

Bitte helft mir, den Rest verstehe ich sonst. Morgen ist die Arbeit und ich stehe sowieso schon auf 4,8.

 

[redsector]

Du sollst nicht einfach eine der Gleichungen wahllos zu ner anderen addieren, sondern sie zuerst so erweitern, dass eine der beiden Variablen beim Addieren/Subtrahieren rausfällt.

Beim ersten Schritt ist das nicht nötig, weil an c keine Zahl hängt und somit beim Subtrahieren c IMMER wegfällt. 1c - 1c = 0.
Im zweiten Schritt musst du eine (oder beide) Gleichungen erst mit irgendwas multiplizieren (auf beiden Seiten!), so dass entweder vor a oder b die selbe Zahl steht und diese Variable somit nachher wegfällt.
Lösungen poste ich nicht, erstens bin ich zu faul das jetzt zu rechnen und zweitens wirst dus wohl jetzt auch selber rausfinden .. so schwer isses ja nicht.

Alternativ kannst du auch eine der beiden Gleichungen nach a oder b auflösen und das dann in die andere anstelle von a oder b (jenachdem) einsetzen. Aber das wär ein anderer Lösungsweg (nennt sich Substitutionsverfahren, im Gegensatz zum Additionsverfahren, was du bisher benutzt hast) und den wolltest du ja nicht.

 

[flickflack]

Hier mal meine Lösung, bin aber kein Mathe-Genie*:

25a-5b+c=1
1a-1b+c=-4,333
36a+6b+c=12

P1-P2) 25a-5b+c=1
-(1a-1b+c=-4,333) \*(-1)
= (24a-4b=5.33333) \*11 für kgv = 264a-44b=58.666

P3-P1) 36a+6b+c=12
-(25a-5b+c=1)
= 11a+11b = 11 \*4 für kgv

44a+44b=44 \*-1 damit var b =0 wird
-44a-44b=-44
-----------------------------------------------------------------------

264a-44b=58.666
-( -44a-44b=-44)
------------------------------------------------------------------------
308a = 102.666

a=1/3
b=2/3
c=-4

Geht sicher noch leichter, aber Vektorgeometrie und Matrix ist schon lange her

 

[kaigue]

Viel interessanter ist ja: Was ist 4 1/3 ?
Ist das 4/3 oder 4 + 1/3?

Das ist keine gültige Rechenoperation. Fatal error. I Fail

 

[flickflack]

Also man könnte es noch als 41/3 interpretieren, oder sonst was...

Kannst doch dafür alle Zahlen durchprobieren, bis a+b+c=-3 ergeben.

 

[kaigue]

Lol, sorry, aber ich dachte ich rechne mal ein bisschen rum und komm' auf folgendes:
(Ein bisschen Übung tut ja au mal gut... )

Für die erste Gleichung geht's auf. Den Rest bin ich zu faul zum Prüfen.
Falls da ein Fehler ist. Sieht in jmd.?

Sorry @ TE das wird dir wenig helfen, aber anders hab ichs grad nich hingekriegt *g*

 

[Götterwind]

@kaigue
Ich glaube mal, dass er mit der Cramerschen Regel nicht viel anfangen kann Wer weis, ob er denn schon Determinanten kennt...

@topic
Das Ziel ist es, die Gleichungen so zu erweitern, dass man mittels Addition/Subtraktion in einem Schritt zum nächsten einzelne Variablen eliminiert.

Bsp:
a+b=4
a-2b=1

Man hat zwei Möglichkeiten:
I)
erste Gleichung mal 2 und beide addieren
(2a+2b)+(a-2b)=2*4+1
also: 3a=9, d.h. a=9/3 (oder auch 3)
man benutze jetzt die erste oder die zweite zum Ausrechnen von b
a+b=4 -> 4-3=1=b
Test mit der anderen Gleichung:
a-2b=1 -> 3 - 2*1=1 also ok.

II)
die zweite von der ersten Gleichung abziehen:
(a+b)-(a-2b)=4-1 -> 3b=3 -> b=1
die erste gleichung z.B benutzen und a=3 rauskriegen


Eine verfeinerte Variante davon ist im Grunde genommen das Gaußsche Eliminationsverfahren...

 

[Franky90]

Ich mache so etwas immer mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren, ist einfach am einfachsten (starke Formulierung was).
Vor allen Dingen muss man sich dann nicht umstellen, falls man mal eine inverse Matrix bestimmen möchte.

Das du das nicht direkt hinbekommen hast, liegt nicht an dir, sondern an deinem Lehrer.

Er hat eine Aufgabe rausgesucht, bei der man das ganz einfach und schnell machen kann, einfach dreimal subtrahieren und fertig, ohne irgendwelche Zeilen zu multiplizieren. So einfach ist es aber fast nie (wie du anhand deiner zweiten Aufgabe gemerkt hast).
Einfach ist es zwar immer noch, aber halt etwas mehr Schreibarbeit.

 

[kaigue]

Ich bin überhaupt froh, dass ich das mit Cramer noch hingekriegt hab

 

[Saiga]

Ich mache so etwas immer mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren, ist einfach am einfachsten (starke Formulierung was).
Vor allen Dingen muss man sich dann nicht umstellen, falls man mal eine inverse Matrix bestimmen möchte.

Das du das nicht direkt hinbekommen hast, liegt nicht an dir, sondern an deinem Lehrer.

Das mit dem Gauß ist wirklich einfacher gibts auch auch den Gauß für "eilige" muss man dann kaum nachdenken.
Naja aber ich wollte was anderes anmerken.

Zum Lehrer!

Das liegt nie am Lehrer es liegt nur an sich selbst!
Wenn man zu faul ist zuhause aus dem Buch zu lernen dann ist man selber Schuld.
Zudem sehe ich wirklich als eigene schwäche zu sagen "es liegt am Lehrer" nein dann ist man selber blöd und es liegt an einem selbst!

Wenn man es nicht hinkriegt es ohne Lehrer zu lernen dann hat man einfach in der jeweiligen Schule etz. nichts verloren.

Im Studium sagst du auch nicht der Prof. ist scheiße da lernst du aus deinem Skript oder Buch die Vorlesungen kann man sich eig. genau so gut auch sparen.