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Bei der YT musst Du die beiden koppeln. Bei der Amazon App sollte die App ein anderes Wiedergabegerät erkennen auf dem Du die Wiedergabe weiter geben kannst.
wie man das grundsätzlich macht ist mir klar. mit der youtube-app kann ich zB. auch problemlos auf einen ("anderen") smart-tv im selben netz casten. aber die box wird mir aufm smartphone nicht angezeigt.
Aber das was der TE will, genau das geht mit dem FireTV. Via der jeweilgen Smartphone App das Amazon oder YouTube Video auf dem FTV wiedergeben. Nicht als Stream sondern nur als Fernbedienung.