Mathe Beweisführung

[pcw]

Ich weiss, dass das hier kein Hausaufgabenboard ist, aber ich brauch trotzdem mal ein bissl Hilfe.

Und zwar soll ich beweisen, dass a/b+b/c+c/d+d/a größer/gleich b/a+c/b+d/c+a/d ist, wobei a<=b<=c<=d.

Ich bin auch der festen Überzeugung das in der Schule schonmal gemacht zu haben, kann mich aber weder an das 'wie', noch an den passenden Namen erinnern, um nach den Lösungsansätzen zu googlen.

Deswegen wär ich euch sehr verbunden, wenn mir jemand den entsprechenden Anstoß verpassen könnte, dass ich das auf die Reihe bekomm. Eine vollständige Lösung will ich nicht haben, die wird mir nämlich kaum dabei helfen, das ganze zu Verstehen und ich möchte es ja später auch auf andere Probleme anwenden können.

 

[gimmebytes]

http://de.wikipedia.org/wiki/Induktion_(Mathematik)

 

[MR.FReeZe]

Vollst. Induktion funktioniert nur bei natuerlichen Zahlen...

Aus was fuer Zahlenmengen sollen a,b,c,d denn sein?

 

[pcw]

Ehm ja die Seite kenn ich. Da hab ich auch zuerst gelesen, wie ich die von der Aufgabe erfahren hab. Allerdings bin ich ein armer kleiner Sprachwissenshaftler und habe ein entsprechend ausgeprägtes mathematisches Talent *g

Also ich kann die tollen brüche addieren, dass da (a²bc+ab²c+abc²+bcd²)/abcd rauskommt und entsprechend den anderen halt auch. Ich hoff einfach mal, dass das soweit sinn macht, haben nämlich alle anderen Ahnungslosen, die ich vorher gefragt hab auch gesagt, dass man das zuerst machen müsste. Allerdings hab ich keinen schimmer, inwiefern mir das jetzt weiterhilft.

Vllt wäre ein Tipp an der Stelle eher hilfreich

Ehm soweit ich weiss müsste das für rationale Zahlen sein^^

 

[Götterwind]

Einfaches Ausmultiplizieren (d.h. mal abcd) müsste es auch bringen. Danach alles auf eine Seite stellen und gleiche Terme nach Quadraten sortieren. Danach alles mögliche ausklammern:

a²c(d-b)+...+...+... >= 0. Da die Werte in den Klammern immer (nach Bedingung) >=0 sind (jetzt wendest du sie an ) steht das Ergebnis da. Voilá

Besser wäre es vielleicht sogar:
Behauptung:
a/b+b/c+c/d+d/a < b/a+c/b+d/c+a/d

Dann wieder alles ausrechnen wie oben. Da nach Bedingung a<=b<=c<=d aber das nicht sein kann, folgt sofort der Widerspruch. Somit ist die ursprüngliche Behauptung ( >= ) gezeigt.

VERDAMMT: so einfach wars doch nicht....

edit: Neuer Weg (ich habe zuviel Zeit )

also das gleich wie vorher, alles mal abcd
a²cd + ab²d + abc² + bcd² >= b²cd + ac²d + abd² + a²bc

danach umsortieren und ausklammern:
a²c(d-b) + d²b(c-a) >= b²d(c-a) +c²a(d-b)

Weiter umsortieren:
(d²b - b²d)(c-a) >= (c²a - a²c)(d-b)

also

db(d-b) (c-a) >= ac (c-a)(d-b)

wegkürzen ergibt:

db/ac >= 1

Also
b/a >= c/d

jetzt benutz du a<=b<=c<=d, somit ist links immer die Zahl größer gleich 1, links immer kleiner gleich 1
also ist die rechte Seite immer kleiner gleich als die linke FERTSCH

Du kannst natürlich alles zu einem Widerspruch führen. Ist besser für einen allgemeinen Beweis. Also einfach annehmen, dass
a/b+b/c+c/d+d/a < b/a+c/b+d/c+a/d

Wieder alles so rechnen und zum Schluss kommst du auf
b/a < c/d, was falsch ist == Widerspruch ==> Annahme falsch. Also ist die ursprüngliche Behauptung richtig.

 

[pcw]

*g okay da hat sich meine PN dann mit deinem Lösungsansatz getroffen. Auch fein wenn man merkt, dass man wenigstens noch etwas kann

wobei ich mir jetzt wo ich die Lösung wieder hab sicher bin, dass ich genau diese Aufgabe in der Schule mal hatte. Ich weiss nur nimmer, ob sie einen spezifischen Namen hat und wenn ja, wie der war...

Bekommst trotzdem einen Dominationpoint (donationpoints sind langweilig und wenn ich dir n Bienchen geb, wird deine Freundin nur eifersüchtig )