MB-Studium Komplexe Zahlen

[j3tho]

Sers,
ich wiederhole gerade die Mathe-Übung zu komplexen Zahlen und verstehe da ein paar Schritte nicht. Hoffe hier kann mir wer helfen

1.
(i^4+i^9+i^16)/((2-i^5+i^10-i^15) = (1+i+1)/(2-i+i-i) = (2+i)/(2-i) = 2+i

Hab ich soweit verstanden, nur wie kommt man vom vorletzten Term auf den letzten?

2. Aufgabe ist es die Teilmengen in der Gauß'schen Zahlenebene zu skizzieren:

"</=" soll kleiner gleich heißen

A= { zεC : |z-1| </= |z| }

=> |z-1| </= |z|
=> |z-1|² </= |z|² .........warum wird hier quadriert?
=> |x+iy-1|² </= |x+iy|²
=> (x-1)² +y² </= x²+y² .......warum kann man das i einfach weglassen?
=> .......

3. gleiche Aufgabenstellung wie bei 2.

B= { zεC : z≠0, Re(1/z)=1)

1/z= 1/(x+iy)
= 1/(x+iy) * (x-iy)/(x-iy)
= (x-iy)/(x²-y²) .........wieder: warum kann man das i einfach weglassen?

=> Re(1/z)= x/(x²+y²) ....dieser Term erschließt sich mir auch nicht ganz
=> x= x²+y²
=> x²-1x+r² +y²= r² ....ich kapier nicht was/warum das hier gemacht wurde?
=> x²-2*1/2x +r²+y² = r² (quadratische Ergänzung)
=>(x-1/2)² +y² = (1/2)² .......wo ist das r² hin und warum steht rechts 1/2

Heraus kommt, dass B eine Kreislinie um (1/2 ;0 ) ist mit dem Radius 1/2 ohne z=0.
Woran erkenne ich, dass es ein Kreis ? ....der Mittepunkt an der Stelle liegt? .....das der Radius 1/2 ist?


Ich hab nicht jede bis zum Ende aufgeschreiben, sondern nur bis zu der Stelle wo ich den Schritt nicht verstehe.
Wenn ich die komplette Aufgabe hinschreiben soll bitte melden.

Btw, ich hoffe, dass ist einigermaßen lesbar

 

[kennyalive]

1.) Sicher, dass das richtig ist? Ich komme auf 3/5+4/5*i, was bei weitem nicht 2+i ergibt.

3.) Warum kann man das i einfach weglassen?

Das kann man nicht. i^2 = -1, das weist du vermutlich. Die letzten beiden Schritte sind also:

=> 1/(x+iy) * (x-iy)/(x-iy)
=> (x-iy)/((x+iy)*(x-iy))
=> (x-iy)/(x^2 + x*iy -x*iy -i^2*y^2) … | -i^2 = 1
=> (x-iy)/(x²-y²)

 

[dichter-karl]

Also zu 1, dass musst du falsch aufgeschrieben haben.

Du musst um i aus dem Nenner zu bekommen komplexkonjugiert Erweitern
mir 2+i und dann kommt als Ergebnis
(3+4i)/5
raus, wenn ich mich nciht verrechnet habe .
Hab mir aber nur die letzten beiden Termen angeschaut.

Grüße

Ergänzung (28. Oktober 2010)

zu 2: der Betrag einer komplexen Zahl ist, nach Pythagoras , die Wurzel aus
Real- und Imaginärteil.

 

[j3tho]

1. ) ich bin mir relativ sicher, dass ich das richtig aufgeschrieben habe. Werd morgen nochmal wen fragen...
2.) Man bin ich bescheuert -.-
D.h es wird quadriert um die Wurzel wegzukriegen und das i fällt weg, weil es für den Betrag irrelevant ist

/E:

Das kann man nicht. i^2 = -1, das weist du vermutlich. Die letzten beiden Schritte sind also:

Ah ok, hab also nur einen zwischenschritt übersehen

 

[dichter-karl]

naja das ist halt die Gleichung für nen Kreis:
vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis_(Geometrie)


Denk mal drüber nach, ist im Prinzip ganz logisch, wieder Pythagoras, der Arme

 

[Kallisto]

Hallo,

zu 1) deine erste Umformung ist schon falsch

(I^4 + I^9 + I^16)/(2 - I^5 + I^10 - I^15) = (1 + I + 1)/(2 - I - 1 + I) = 2+I

 

[kühle BOckwust]

jo, komme auch auf (3+4i)/5 bei dem letzten schritt bei 1)...wie schon geschrieben musst du im nenner das ganze mit (2+i) mal nehmen und im zähler natürlich ergänzen aber auf 2+i komme ich null und gar nicht...

edit: ui, wie mein vorschreiber angemerkt hat sind schon im ansatz fehler enthalten

 

[j3tho]

(I^4 + I^9 + I^16)/(2 - I^5 + I^10 - I^15) = (1 + I + 1)/(2 - I - 1 + I) = 2+I

Ach jo, hab mal die einzelnen Potenzen in i² zerlegt dann kommts raus. danke

 

[Tarkin]

(3+i4) / 5
Ich habe mit dem Inversen von (2 - i) erweitert.

 

[Kallisto]

zu 2)

Hier ist kein i einfach weggelassen. Betrag bedeutet immer!!! das mit der complex konjugierten Zahl multipliziert wird. Im Falle deiner rechten Seite im letzten Schritt also (x+iy)(x-iy) womit folgt das du da ein Quadrat über den y vergessen hast.

zu 3)

Beim dritten Schritt wird einfach die dritte Binomische Formel angewendet

(a+b)(a-b)=a² - b²

Beim vierten Schritt wird die Gleichung des dritten einfach mal anders aufgeschrieben

x/(x²-y²) - iy/(x²-y²)

 

[j3tho]

womit folgt das du da ein Quadrat über den y vergessen hast.

Das muss beim tippen irgendwie untergegangen sein

das mit der complex konjugierten Zahl multipliziert wird.

also |z|= z* (z|) .....der Strich sollte über dem z stehen

die konjugiert komplexe zahl zu x+iy ist dann x-iy
und zu x+iy-1 dann x-iy+1

sprich ich muss die Vorzeichen umkehren?

 

[Kallisto]

Japp, so ist sie definiert die complex konjugierte Zahl. Als Spiegelung an der Realachse.

 

[j3tho]

Beim vierten Schritt wird die Gleichung des dritten einfach mal anders aufgeschrieben

Ah ok, also wird nur der Reele und Imaginäre Teil von z jeweils getrennt aufgeschrieben

Dann bleibt nur noch die Sache mit den r...

Srry wenn meine Frage "blöd" sind, aber hatte das Thema komplexe Zahlen selbst im Mathe Leistungskurs aufm Gym nicht. Deshalb tue ich mich da ein bissl schwer

E:

naja das ist halt die Gleichung für nen Kreis:

meinst du die hier:
Kreis mit dem Mittelpunkt M(xm/ym)
(x − xM)² + (y − yM)² = r²

=> Xm =1/2 ; Ym=0 ; r=1/2

Dann wären meine (hoffentlich letzten) Fragen:

x²-1x+r² +y²= r² ....ich kapier nicht was/warum das hier gemacht wurde?

Man muss ja vorher irgendwie erkennen können, dass es sich um einen Kreis handelt, sonst würde man ja r nicht einführen.
Mal abgesehen davon verstehen ich noch nicht wie man die Gl. x=x²+y² so einfach in die danach "umwandeln" kann.
Ma ergänzt r² auf beiden Seiten, womit sich das auch wieder rauskürzen lassen könnte, sprich die Gleichung wäre somit gleichwertig. Wo kommt aber das -1x vor

Und schließlich im letzten Schritt auf der rechten Seite: Wie komme ich auf 1/2

 

[j3tho]

So ich bins nochmal:

Hab jetzt gerade meine Übungen gemacht und bin mir an einer Stelle nicht sicher, ob meine Denkweise/Lösungsweg legitim sind:

Berechnen sie den Real- und Imaginärteil sowie den Betrag, ein Argument und eine Polarkoordinaten-Darstellung der folgenden komplexen Zahlen:

d) z4 = (1/3*(1+i(Wurzel3)))^n

Hinweis zu d) Verwenden sie die Moivresche Formel

Mein Lösungsansatz wäre jetzt, dass ich z4=z^n setzte und erstmal nur das innere der Klammer betrachte.
Dann bekomme ich folgendes heraus:

Re(z)= 1/3 ; Im (z)=1/3*Wurzel (3) --> z liegt im I. Quadranten
|z|= 2/3
|arg (z) |= |arc cos (1/2)|......mein Übungspartner sagt das ist 1/3*pi..Kann mir das jemand unabhänig davon ob mein Ansatz korrekt ist oder nicht erklären?

1. Wenn ich nur das innere der Klammer betrachte (also ohne (..)^n), kommt dann nicht ein andere Real- und Imaginärteil, Betrag und Argument heraus?

Bei den Polarkoordinaten beziehe ich dann wieder das n mit ein:

z4=z^n= (2/3)^n*exp(i*n*1/3*pi) = (2/3)^n*(cos(1/3pi*n)+i*sin(1/3pi*n))

2. Allerdings habe ich dabei ja nicht die Moivresche Formel miteinbezogen bzw. nur mein letzten umformen. Habe also damit nich wirklich gerechnet.
Ne andere Möglichkeit sie zu Verwenden sehe ich nicht, denn den ersten Term z4 = (1/3*(1+i(Wurzel3))^n aus zu multiplizieren macht meiner Meinung nach keinen Sinn.

Hoffe ihr könnt mir (nochmal) helfen