trigonmetrische Darstellung Komplexer Zahlen

[Crashdowns]

Hallo zusammen,
ich bereite mich gerade auf eine kommende Klausur vor und habe ein kleines Problem bei der Darstellung komplexer Zahlen in trigonmetrischer Form.

Gegeben ist folgende Gleichung: (1+i)^100

Ergebniss ist folgendes: 2^50 · (cos π + i · sin π).

Mir ist klar wie ich auf den Term vor der Klammer komme . Nur wie komme ich auf den Winkel? Ein paar Leute haben mir schon gesagt einfach aufmalen und gucken, was aber bei komplexeren Formeln schwierig wird.
Kann mir jmd. einen Hilfsestellung für die Winkelberechnung geben?

mfg

 

[Kopfkirmes]

Guckst du hier. So gesehen ist der Winkel für die Polarform einer komplexen Zahl der Winkel zwischen der von der Zahl implizierten Gerade und dem positiven Teil der x-Achse (gegen den Urzeigersinn gemessen).

Den Winkel brauchst du, um von der algebraischen Form zur Polarform zu kommen und umgekehrt. Wichtig ist halt, dass der resultierende Winkel im Bogenmaß angegeben ist (z.B. 60°=1/3*pi). Das Ganze ist bei Wikipedia wie ich finde recht anschaulich erklärt. Da gibt´s auch eine Formel für die Umrechnung.

Für schwierigere Darstellungen von komplexe Zahlen wie die von dir genannte Potenz gibt es eigentlich keine allgemeine Methode außer die Form soweit zu vereinfachen, dass du zum Schluss auf die Form c=a+ib kommst (c=gegebene komplexe Zahl).

 

[Sherman123]

Naja, da liegt ja genau der Hund begraben. Bei einer 100er Potenz habe ich wirklich keine Ahnung wie das gehen soll.
Aber wenn es dich beruhigt, selbst wolframalpha bekommt es nicht hin.

normalerweise: Phi=cos(Realteil/Betrag(Realteil+Imaginärteil))

Mit einer 10er Potenz ists mit einigem Rechenaufwand noch zu Fuß lösbar. (wolframalpha gibt für 10er Potenz aus, dass die Zahl keinen Realteil besitzt --> phi=90°)


EDIT: Eigentlich logisch: 1^100 bleibt trotzdem nur 1; i^100 =i^100 --> Imaginäranteil wird stark dominieren, da du nach dem Auflösen sehr viele i's mit hohen Potenzen hast und auch sehr viele i*1 Mischterme und sonst nur 100*1)
--> imho ist auch hier phi=90°

kann das so stimmen??

 

[mokabo]

Hier mal mit (i+1)^4711

 

[Airbag]

Hab aus langeweile mal mein altes Mathe II Skript rausgekramt. Ansich ist es recht einfach.
Hier die folgenden Schritte.

(1+i)^100 = r^100 * e^(100*i*pi/4) = sqrt(2)^100 * e^(i*25pi) = 2^50 * e^i*(24pi + pi) = 2^50 * (e^(i*24*pi) + e^(i*pi)) = 2^50 * e^(i*pi) = 2^50 *( cos(pi) + sin(pi)*i)


es gilt:
eulersche Formel
r = sqrt(x^2 + y^2)
und phi = pi/4 (ergibt sich ja auch arctan von bli bla blub und so, solltest du aber wissen)


bin grad zu faul, dass mit tex zu schreiben und hoffe mal, dass es so noch einigermaßen übersichtlich ist.