[Mathe] Lösung eines LGS

[Helios co.]

Hallo,

und zwar habe ich folgendes Problem (bzw. eine Frage)

Ich habe ein LGS der Form:

a1x1+a1x2+a3x3=0
b1x1+b2x2+b3x3=0
c1x1+c2x2+c3x3=0

Das heißt es hat die übliche Form Ax=b
wobei b beimir 0 ist (der Nullvektor)

Jetzt kommt bei mir, mit Gauß, stets null für alle Variablen x1,x2 und x3
Meine Frage: Ist ist üblich, dass im Falle b=0 stets 0 für alle Variablen rauskommt.
(durch einfaches Kombinieren kam ich auf eine Lösung (1,3,3) die durchaus richtig ist. Was aber beikomplexeren LGS mit Sicherheit nicht mehr möglich sien wird)

 

[sebko]

Wenn b der Nullvektor ist, dann ist die 2. Gleichung zusammengefasst 0=0 und fällt raus.

Damit hast Du ein unterdefiniertes LGS und hast unendlich viele Lösungen. Also such dir eine aus

 

[phil.]

Wenn du hier schon "Hausaufgaben" fragst, obwohl wir kein Hausaufgabenboard sind, dann bitte nicht
im Forum MCW. So wissenschaftlich ist sind die Gleichungen dann doch nicht.

 

[Helios co.]

@sebko

ich bin mir nicht sicher, ob das hier bei mir zutrifft.
Den ich kriege mit Gauß nicht diesen Fall 0=0
(oder habe ich dich falksch verstanden?)

Hmm, was ich meinte ist, ob man für x1 x2 und x3 stets null rausbekommt, wenn b für jede der 3 Gleichungen 0 ist

Also z.B.:

-3x1 + x3 = 0
3x1-x2=0
x2-x3=0

Wenn ich mit Gauß die Stufenform errechne, dann kriege ich in der untersten Zeile ein x3=0 raus => x2=0 und daraus folgt x1=0

Was natürlich richtig ist, aber es wäre auch x1=1, x2=3 und x3=3 richtig (und übrigens das wonach ich gesucht habe, nur halt durch "scharfes hinsehen")


@phil.

Das war keine Hausaufgabe sodnern eine Verständnisfage.

Außerdem erschien mir die Überschrift des Forums "Wissenschaft" als nicht gerade abwegigim Zusammenhang mit Mathematik.
Dennoch entschuldige ich mich natürlich für meinen frefelhaften Fehler und verneige mich in tiefster Demut.

 

[sebko]

Also dann schreibst Dus oben falsch.

Der b-Vektor, wie Du ihn schreibst, erscheint nur in Gleichung II (b1, b2, b3)! Und diese fällt dann raus. Dann meinst Du es anders: Du meintest b als Ergebnisvektor (von AX=b) und nicht das b in deinen Gleichungen. Hab ich falsch verstanden. Das führt dann natürlich NICHT zwangsläufig zu unendlich vielen Lösungen.

Wenn der Ergebnisvektor 0 ist, dann erhältst Du immer die 0-Lösung (sog. triviale Lösung) eines LGS.
Nur ist das, wie Du schon gesagt hast, meistens nicht das gewünschte Ergebnis.
Da hilft nur weiterrechnen.

 

[Helios co.]

@sebko

genau das meine ich. Sorry wenn ich mich nicht deutlich ausgedrückt habe.
Hätte ja auch direkt sagen können, dass es sich um ein homogenes LGS handelt.

Da hilft nur weiterrechnen.

Sehe ich das richtig, dass es keinen "richtigen" Lösungsweg gibt?
Ich meine: In einem kleinen LGS kann man die Lösung meist noch sehen, aber was ist, wenn du 20 Gleichungen mit zig Variablen hast?
Da kann man doch ohne richtiges Vorgehen nicht mehr die Lösung quasi erahnen?!

Selbst eine maschinelle Berechnung (Backtracking und Rekursion) wären hier unheimlich zeitintensiv.

 

[Jirko]

Natürlich gibt es ein normiertes Verfahren dazu. Das kennst du auch, es heißt Gauß-Algorythmus.

Um auf die nichttriviale(n) Lösung(en) zu kommen, musst du das auch bis zum Ende durchziehen. Das heißt: Ziel ist nicht die Zeilenstufenform, sondern die normierte Zeilenstufenform. Dann hast du als Kopfvariablen in jeder Zeile nur 1en und kannst an deinem Ergebnisvektor b die Werte ablesen, die das LGS lösen.

Sollte sich zwischendurch ein Widerspruch ergeben (eine Zeile der Koeffizientenmatrix besteht nur aus Nullen, der Ergebnisvektor (oder die in deinem Fall vierte Spalte der erw. Koeffizientenmatrix) ist jedoch ungleich Null), so besitzt das LGs keine Lösung. Ergibt sich eine Nullzeile - oder exakter, ist der Rang deiner Matrix kleiner als die Zahl der zu bestimmenden Variablen - so hast du unendlich viele Lösungen, wobei mindestens eine Variable in Abhängigkeit zu den anderen Steht.

Du kannst ja mal das eigentliche LGS hier reinstellen, dann kann ich vielleicht besser verstehen, wo genau das Problem liegt.

 

[sebko]

@ Silver:

Danke, hätte wohl nicht so viel Geduld aufgebracht. Vorallem, da er das Gauß-Verfahren selbst schon anführt...

 

[gac.addy]

Servus
wenn du dein Besipiel
-3x1 + x3 = 0
3x1-x2=0
x2-x3=0
mit Gauß durchrechnest bekommst du (wenn ich mich nicht verrechnet habe )

-3x1 + x3 = 0
-x2 + x3 = 0
0 = 0

, das heist aber nicht, das x3 = 0 ist!
In diesem Fall erhälst du unendlich viele Lösungen die man zB so darstellen könnte:
x1 = 1/3 x3
x2 = x3
dort kannst du jetzt eine beliebige Zahl für x3 einsetzen (zB x3 = 3 => x1 = 1 und x2 = 3)



EDIT: Da hab ich wohl solang zum nachrechnen bzw eintippen gebraucht, das Silver en bissl flotter war, naja vllt das durchgehen an dem Beispiel auch ein bissl weiter

 

[Helios co.]

Hallo nochmals


Alo zunächst schon mal einen großen Dank sowohl für die qualitative als auch die quantitative Hilfe.
Ich glaube ich bin jetzt ein gutes Stück weiter.

Eine mögliche Matrix, wie sie mir häufiger über den Weg läuft bei der t-invarianten Berechnung wäre:

-1 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -1 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0

(ganz rechts die Nullen sind dann quasi mein Vektor b)


Wenn ich euch richtig verstanden habe, muss ich diese Matrix im ersten Schritt auf die normierte Zeilenstufenform bringen.
D.h.
1.unter der Hauptdiagonalen stehen nur Nullen
2.in jeder Zeiel, in der es eine führende 1 gibt,muss in der entsprechenden Spalte (über und unter der 1) nur Nullen stehen.
(es kann natürlich Nullzeilen geben)

Im 2ten Schritt, kann ich, wenn ich Nullzeilen habe, bestimmte Werte "frei" wählen (da 0 = 0)
und erfahre bereits etwas über das Verhätnis der einzelnen Variablen zueinander

Die Folge aus den beiden Schritten ist, dass ich mögliche Lösungen erstellen kann. (theoretisch)

Habe ich euch so weit richtig verstanden?

 

[Jirko]

Ja, die NZSF hat die von dir beschriebene Form. Man könnte auch salopp sagen: In der Koeffizientenmatrix gibt es in jeder Zeile nur eine Zahl, das ist die 1. Drüber und drunter stehen nur Nullen. Im Ergebnisvektor dürfen natürlich noch Werte stehen. Wäre auch besser, dann entsprechend die Werte vom Ergebnisvektor nämlich den Werten, die man für die jeweilige Variable einsetzen muss.

Nullzeilen kannst du übrigens direkt rauswerfen, die bringen dir nichts. Das Null mal Irgendwas null ist, hilft dir bei der Lösungsfindung nicht. Sollte der Rang der Matrix (Zahl der "echten" Zeilen) jedoch kleiner werden als die Zahl der gesuchten Variablen, weißt du schonmal, dass du nicht nach allen Variablen auflösen kannst.

Ich demonstriere mal, was bei einem LGS mit drei Gleichungen passieren würde, bei dem die Umformung der EKM eine Nullzeile ergäbe. Die Matrix könnte dann so aussehen:

1 0 0 | 3
0 1 2 | 1
0 0 0 | 0

Die erste gesuchte Variable (Lambda 1 oder a oder Purzelbaum) muss drei gesetzt werden, b und c sind abhängig, denn in der zweiten Zeile steht:

1*b + 2*c = 1.

Das kannst du für deinen Ergebnisvektor umschreiben, zum Beispiel in:

b= 1 - 2*c

c ist dann frei wählbar.

Dein Ergebnisvektor hätte dann die Form: (3, 1 - 2c (=b), c | c Element R)