MATHE: Nullstellenberechnung durch Raten

[jkljkljkl]

Hallo liebe Community ,

war leider letzte Stunde nicht im Matheunterricht, da ich krank war. Nun hab ich von meiner Nachbarin ein Übungsblatt bekommen mit einem Beispiel. Allerdings blick ich bei der ganzen Sache nicht so durch. Es geht um folgende Aufgabe:


Berechnen Sie die Nullstellen der gegebenen Funktion durch Raten einer Nullstelle und anschließende Polynomdivision!

X³-3X²-X+3 = 0

dann wurde xn1= - 1 geraten (Allerdings weis ich nicht warum)


dann folgendes aufgestellt:

g(X)x(x+1) = X³-3X²-X+3

(X³-3X²-X+3) : (X+1) = X²-4X+3 (Polynomdivision kann ich berechnen, nur weis ich nicht wie man zu diesem Schritt kommt)

==> X³-3X²-X+3 = 0

==> (X²-4X+3)x(X+1) = 0

dann war xn1 = -1

und xn2 wurde durch die Mitternachtsformel ausgerechnet. Ist dann folgendes herausgekommen:

xn2 = 3, xn3 = 1

==> X²-4X+3 = (X-3)x(X-1)



Könnt Ihr mir das evtl erklären z.B. an diesem Beispiel: f(x) = 6X³-12X²-6X+12


Wäre echt super von Euch. Hock jetzt schon ewig davor, peil aber die ganze Geschichte nicht so....

 

[Farmer]

So pass auf. (Platzhalter^^)

Dein Beispiel ist schonmal wieder etwas komplizierter, näheres dazu später/Morgen.

Erstmal das einfache erklären.

Nulstellen sind relativ zu raten, zumindestens eine. Das ist nämlich einer der Teiler aus der letzten Zahl (in diesem Fall die drei).
Deswegen wissen wir nun, dass eine Nullstele +/-1, bzw +/-3 ist. Wir setzen also die Zahlen ein und gucken welche stimmt. In diesem Fall stimmt -1.

Daraus bauen wir dann ne Polynomdivision: (X^3-3X^2-X+3) : (X+1) = X^2-4X+3 (wehe das stimmt nicht, ich hab nicht nachgerechnet^^).
Folglich f(X) = (X+1) * (X^2-4X+3)


Zu müde, ich mach Morgen weiter^^

 

[Mr. Snoot]

Raten tut man dann, weil man es z.B. nicht so einfach/gar nicht berechnen kann.

In der Schule ist die Lösung einer Nullstelle dann aber einfach -2, -1, 1 oder 2, so dass man also ganz schnell in 1 Minute rumprobieren eine Lösung erhält (was anderes kann man ja quasi nicht erraten).

Probiers bei der letzten Gleichung einfach aus, auch da ist eine Lösung ganz simpel.



Da im oberen Beispiel x = -1 erraten wurde, hat man (x + 1) als einen Term der Gleichung, die man dann durch den Term dividieren kann und eine einfach zu lösende, quadratische Gleichung erhält.

 

[Flo89]

Es gibt ein paar (mathematische) Regeln, welche Zahlen beim Probieren sinnvoll sind. Allerdings war mir das immer zu umständlich.
Eine praktische Regel ist, dass es im Prinzip immer eine natürliche Zahl im Bereich von -5 bis +5 ist.

Ihr habt doch sicher technische Taschenrechner, bei denen man ganze Aufgaben eintippen kann. Somit musst du ja nur eine Zahl an drei Stellen in der Eingabe ändern, um die nächste Zahl zu testen.


6x³-12x²-6x+12 =! 0
In dem Fall ist es auch wieder die -1.
Anschließend noch per x1/2-Formel die letzten beiden Nullstellen berechnen.

(Polynomdivision kann ich berechnen, nur weis ich nicht wie man zu diesem Schritt kommt)

Der Divisor für die Polynomdivision ist immer (x - NSt), bei NSt=-1 also (x+1)

 

[Gorby]

Du kannst auch einfach bei "Geogebra" (ein kleines Matheprogramm zum Kostenlosen download) die Funktion eingeben. Dann siehst du sie wenigstens und kannst dir ein besseres Bild von der Funktion machen, bzw. die Nullstellen ablesen, da die in der Schule beim Raten eh immer Ganze Zahlen nehemen.

 

[claW.]

dann wurde xn1= - 1 geraten (Allerdings weis ich nicht warum)

dieses raten macht man, um die erste nullstelle herauszubekommen, wodurch man dann die polynomdivision anwenden kann. beginnt wird immer bei 1, dann -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 usw. sobald bei einer zahl = 0 herauskommt, hast du die erste nullstelle. => in dem falle -1

g(X)x(x+1) = X³-3X²-X+3

falsche formel. anstatt + 1, musst du - x einsetzen, d.h. aus der gefundenen -1 wird bei der polynomdivision eine +1 und aus der gefundenen +1 wird -1.
d.h. die allgemeingültige formel wäre demzufolge: f(x) : (x-y) = ...

(X³-3X²-X+3) : (X+1) = X²-4X+3 (Polynomdivision kann ich berechnen, nur weis ich nicht wie man zu diesem Schritt kommt)

welchen schritt meinst du? wenn du das mit : (x+1) meinst, hab ich das oben erklärt.

und xn2 wurde durch die Mitternachtsformel ausgerechnet. Ist dann folgendes herausgekommen:

was auch immer du damit meinst... ich denke, du meinst die formel mit p und q.

Könnt Ihr mir das evtl erklären z.B. an diesem Beispiel: f(x) = 6X³-12X²-6X+12

kurz und knapp:

f(x)=6*x^3-12*x^2-6*x+12

// da die funktion ungerade ist (funktion dritten grades, x^3),
// muss eine polynomdivision durchgeführt werden.
// also wird begonnen zu "raten" (eigentlich reines durchgehen der zahlen)

f(1)=0 -> erste nullstelle

6*x^3-12*x^2-6*x+12 : (x - y) // <- nullstelle also hier einsetzen
// daraus ergibt sich folgende formel:
6*x^3-12*x^2-6*x+12 : (x - 1) = 6x^2-6x-12
// (laut diesem rechner:
// http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm
// - grad keine lust zu rechnen ;))

// diese formel, kannst du nun mit p und q auflösen:

6x^2-6x-12 // : 6 -> auf normalform bringen
x^2-1x-2 // p = -1; q = -2

x0 = 1
x1 = 2
x2 = -1

hoffe ich hab nix vergessen

 

[jkljkljkl]

Hey super, vielen lieben Dank. Ich glaub jetzt hab ich es verstanden. Besonderen Dank an claW. für seine Bemühungen
Dann steht wohl dem morgigen Schultag nichts mehr im Wege

 

[Flo89]

@ claW.
"Mitternachtsformel" ist laut einigen Mathelehrern die unter Schülern beliebteste Bezeichnung für diese Formel, ich selbst bevorzuge "x 1 2-Formel", p und q läuft aber auf das selbe raus.

 

[MesserJack]

Wie schon erwähnt schaut man sich die Teiler der absoluten Glieds an.
Aber ich wollte noch was hinzuzufügen und zwar, wenn bei der Summe der Koeffizienten gleich Null raus kommt, ist die erste Nullstelle gleich 1.
6*x^3-12*x^2-6*x+12
6 -12 -6 +12 = 0 <----> Nullstelle = 1
oder die Summe der Koeffizienten der geraden Exponenten = Summe der Koeffizienten der ungeraden Exponenten ist, dann ist -1 eine Nullstelle.
4x^5+x^4-2x^3+3x^2+5x+3

4 - 2 + 5 = 1 + 3 + 3
7 = 7

 

[Erlias]

Man muss aber nicht raten. mit dem Newton-Verfahren lässt sich die (für die Ploy'divison benötigte)Nullstelle annähern.

 

[Flo89]

Wobei das Newton-Verfahren wohl etwas zu viel für 13. Klasse Gymnasium und FOS ist. Raten mit ganzen Zahlen müsste da deutlich schneller gehen.

 

[Erlias]

Was heißt hier zu viel? Newton-Verfahren steht in der 12 Klasse T-FOS auf'm Lehrplan. Auch wenn man am Anfang noch ganzzahlige Lösungen erraten kann, wenn man "realistische" Aufgaben rechnet, die halt leider nicht so konstruiert sind, braucht man das unbedingt.

 

[Flo89]

Zum Technikzweig kann ich nichts sagen, bin auf dem Wirtschaftszweig.

Und das man mit "Schulwissen" bei realistischen Aufgaben meist wenig Chancen hat, ist mir auch klar