Nullstellenberechnung

[kisser]

(edith) für unseren Silberling und auch alle anderen die mögen:
x²-2x+1=(x-1)²=(x-1)*(x-1), also x=1 sogar doppelte Nullstelle, so wenn man denn zuerst 4 ermittelt hat. Bei zuerst 1 müßten dann noch 4 und 1 herauskommen, sollten hier denn alle richtig gerechnet haben.

Das soll jetzt hoffentlich nicht heissen, dass nur im Falle der erratenen 4 die x=1 doppelte Nullstelle ist.

 

[snow1]

Hallo!

Es geht um Mathematik in der 11. Klasse.

Man soll die Nullstellen der Funktion bestimmen

f(x) = x³-6x²+9x-4

1. Gleich 0 Setzen

0 = x³-6x²+9x-4

Dann +4

4 = x³-6x²+9x

So, da hab ich jetzt mein Problem, wie weiter?

Es geht mir um den Lösungsweg "zu Fuß", um es zu Lernen.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen

Danke schon mal im Voraus!

Hallo,

ich hoffe meine Lösung ist halbwegs verständlich...

f(x) = x³-6x²+9x-4

f(x) = 0; x³-6x²+9x-4=0

Sinnvolles Probieren: x_1 = 1  (1³-6*1²+9*1-4=0)


Hornerschema:
-------------

Mit dem Hornerschema erreicht man das Selbe, wie mit der Polynomdivision, 
allerdings finde ich, dass es mit dem Hornerschema schneller und schöner geht.

                  | 1  -6   9  -4
            x_1=1 |     1  -5   4 
            ------+--------------
                  | 1  -5   4   0

            x²-5x+4=0


Lösungsformel:
--------------

Die verbleibenden Nullstellen kann man dann mit der Lösungsformel berechnen...

                 ______
          -b +- Vb²-4ac
  x_2,3 = -------------
               2a
                ________
          5 +- V25-4*1*4
        = --------------
                2
                
          5 +- 3
        = ------
            2

   x_2 = 1  v  x_3 = 4


Ergebnis:
---------

   x_1,2 = 1  doppelte Nullstelle (kein Vorzeichenwechsel)
   x_3 = 4    einfache Nullstelle (Vorzeichenwechsel)

 

[kisser]

---------

   x_1,2 = 1  doppelte Nullstelle (Vorzeichenwechsel)
   x_3 = 4    einfache Nullstelle (kein Vorzeichenwechsel)

Muss umgekehrt sein, kein Vorzeichenwechsel bei doppelter Nullstelle (zB. f(x) = x*x), aber Vorzeichenwechsel bei einfacher Nullstelle (zB. f(x)=x).

 

[snow1]

Muss umgekehrt sein, kein Vorzeichenwechsel bei doppelter Nullstelle (zB. f(x) = x*x), aber Vorzeichenwechsel bei einfacher Nullstelle (zB. f(x)=x).

Jop, habs eben beim durchlesen auch gesehen...