Wie oft hast Du denn schon gestreamed? Ich meine wenn Du damit Erfahrung hast wirst Du doch wissen worauf es ankommt?!
Meiner Meinung nach kann man mit 700€ schon nen Rechner bauen aber ob dassinn macht soviel Geld auszugeben obwohl es eigentlich nicht erforderlich wäre? Naja ist ja dein Geld.
Soweit ich mich damit befasst habe (also kaum) und ich habe eine XBOX gibt es all die Tools die man braucht um einen Stream aufzuwerten im Appstore der Konsole. Gut ich weiss nicht wie es auf PS ist- ich hab die nach der PS3 in den Wind geschossen aber bei der XBOX startest Du das Zeug halt über das einblendbare Dashboard. Bei PS wirds das ja sicher auch geben und ich kann mir nicht vorstellen, dass man den Stream nicht ordentlich steuern kann von der Konsole aus.
Na wie dem auch sei. Wenn es nur zum streamen sein soll stell Dir halt etwas auf Bais der VEGA APUs zusammen (Ryzen 5 2400G). Wichtig wäre mindestens 3.000Mhz RAM im DualChannel zu kaufen (also 2x8GB), eine 500GB SSD ist ausreichend und günstig. Ein 400-500W 80+ Netzteil und das wars auch schon. Case drum und fertig ist der Lack
Mal auf die Schnelle:
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Hinzu kommt natürlich die Capture Card (~200€ bzw für 4K 400€).
Ob ein Ryzen 7 2700(x) hier Sinn macht sei mal dahingestellet, da das Material beim streamen ja Live durchgeschleust wird und der PC tatsächlich "on the fly" arbeitet - für bissl Logos, Text usw reichen 4 Kerne imo locker aus.
Du hättest ohne Probleme die Option den dann upzugraden - allerdings ist dann eine dedizierte GPU fällig (neu ab ca 150€).
Alternativ kann man dann natürlich auf einen Intel setzten. Diese sind zum Teil sehr teuer und die Plattform ist nicht so zukunftsfähig wie bei AMD aktuell. 
