Tipp um Gleichung zu lösen

[selberbauer]

Hallo,

ich will hier keine Lösung der Gleichung!

Ich will nur wissen, nach welchem Stichwort ich suchen muss bzw. wie das Stichwort heisst, mit welchem ich folgende Gleichung lösen könnte:

k³+4k²+3k = 14

Soweit habe ich mein Integral bereits vereinfacht...
Nun weiß ich nicht weiter.

Wenn ich die Gleichung auf:
k³+4k² = 14 - 3k
umforme, könnte ich zwar durch k teilen und dann die Mondscheinformel bzw. p-q-formel anwenden, allerdings macht mir (14/k) da etwas durch die Rechnung.

Könnte eine Polynomendivision abhilfe schaffen?

Gruß,
selberbauer

 

[r0b-tbo]

Polynomdivision ist tatsächlich das richtige Stichwort

ist die Gleichung oben nur ausgedacht oder musst du die tatsächlich lösen, also mit diesen Koeffizienten?

 

[W4Ve]

Das Problem bei der Polynomdivision ist halt, dass er erst mal eine Nullstelle raten müsste.. und auf Anhieb seh ich die nicht..

Edit: Du könntest es mal mit der Gleichungsformel für kubische Gleichungen probieren: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/seminar1/kubik.html

Edit 2: Oder es numerisch von Wolframalpha lösen lassen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=k³+4k²+3k+=+14+solve+for+k&dataset=

 

[MR.FReeZe]

Wie sieht das Integral denn als ganzes aus?

 

[selberbauer]

Hi,

also ich das Integral ist:
(kx+k)dx = 7 (Zum Intervall k zu k +1)

Diese habe ich zu:
(k/2)x²+kx +C = 7
integriert.

Dann habe ich "x = k + 1" eingesetzt
(k/2)*(k+1)²+k(k+1) = 7
...
k³+4k²+3k = 14

Solange ich mich nicht verrechnet habe müsste das stimmen...

Da ich k nicht weiß ist das mit den Nullstellen natürlich etwas ungewiss oder gibt es da eine idee?

@W4Ve
Die kubische Gleichung hatten wir zwar noch nicht, aber dies scheint die einzige Lösung darzustellen.

Wolfram geht aber sehr detailiert vor
Da allerdings ein float herauskommt denke ich mal, dass was an meiner Rechnung falsch sein könnte und Schulaufgaben sind meistens natürliche Zahlen.
Kann das sein?

 

[Faluröd]

Mit geschicktem Umformen geht da wenig, letztlich läuft's immer auf eine kubische Gleichung hinaus. Hier gibt es im wesentlichen zwei Verfahren.

Das erste ist Polynomdivision und anschließendes Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Dieses Verfahren setzt voraus, dass man eine Nullstelle findet, am besten eine ganzzahlige. In der Schulmathematik lassen sich so normalerweise alle Gleichungen lösen, bei dieser ist das jedoch nicht möglich.

Dann bleibt eigentlich nur die 2. Variante, das Cardano-Verfahren, was normalerweise erst an der Uni gelehrt wird. Bei dem Verfahren handelt es sich letztlich um eine Serie von geschickten Umformungen, welche das Problem auf eine Standardform bringen. Diese ist dann analytisch lösbar.

EDIT: Zu spät.

 

[selberbauer]

Kann es auch sein, dass der Lehrer die Aufgabe nur zum ärgern in den Test reingebracht hat, weil das scheint ja schlussendlich noch weit entfernt von unserem Niveau (2. Semester LK) oder übersehe ich etwas?

@Faluröd
Werde mir bei Gelegenheit das Cardano-Verfahren ansehen, bin aber persmisstisch, dass ich da viel verstehe...

 

[W4Ve]

Also die Aufgabe ist ja, das K so zu bestimmen, dass das Integral in den Grenzen von k bis k+1 den Wert 7 annimmt. Die Stammfunktion dürfte auch richtig sein. Du hast allerdings nur die obere Grenze eingesetzt und die untere außer Acht gelassen. Wenn du jetzt das Integral von k+1 bis k berechnest, dann krieg ich hier eine quadratische Gleichung raus ( 2k²+k-7=0). Ich hab das jetzt alles nur mal hingekritzelt, deshalb keine Gewähr^^

 

[Vetinari]

Du hast schlicht und einfach falsch integriert, wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mal korrekt an (du hast eine Stammfunktion gebildet, in k+1 ausgewertet und die Konstante verschenkt, das ist augenscheinlich nonsens). Es kommt eine einfache quadratische Gleichung heraus.

 

[selberbauer]

F(k+1) = 1/2*(k³+4k²+3k)
F(k) = 1/2*(k³+2k²)
F(k+1) - F(k)
=> (k³+4k²+3k) - (k³+2k²) = 14
2k² + 3k = 14
<=> 2k² + 3k - 14 = 0
Rest mit der p-q-formel

Danke Leute