Alpenbruder schrieb:
Ich verstehe nicht warum ein warum n+1 vektoren in einem r^n koordinatensystem immer linear abhängig sind. Räumlich vorstellen kann ich es mir, bei einem dreidimensionalen Koordsys. bewirkt der vierte vektor die lineare abhängigkeit. Aber das ist doch kein mathematischer Beweis, ich hab das gefühl dass ich die Erklärung nicht greifen kann...
Anschaulich bekommst du probleme. Unser Hirn kann nicht ohne weiteres Objekte mit mehr als 3 räumlichen Dimensionen vorstellen.
Kennst du das Gausverfahren, bzw. erweiter Gausverfahren zum lösen lineare Gleichungen?.
Wenn nein, so schau es dir hier an:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1000
Es ist Schulstoff. Zumindest war es das mal.
Erstmal die Definition von linear unabhängig:
Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear abhängig (kurz l.a), wenn du einen von ihnen als linearkombination der anderen darstellen kannst.
Das heißt:
Wenn {
v1,
v2,
v3....,
vn+1} die n+1-Vektoren bezeichnen, so läßt sich einer von ihnen als, sagen wir z.B. Vektor
v2, wie folgt darstellen:
a
1*
v1+a
3*
v3+a
4*
v4+a
5*
v5...+a
n+1*
vn+1=
v2
Die punkte heißen dabei, dass es nach dem selben Schema wie vorher weiter geht
Dabei sind , a
1 und a
2 bis a
n+1 relle Zahlen.
Nun zu dem Beweis:
Wenn man nun n+1 n-dimensionale Koordinatenvektoren
vn hat, also Tupel mit n Einträgen, so kann man sie in einer Koordinatenmatrix S der Form
S=(
v1,
v2,
v3,...
vn) anordnen.
Also so, das in jeder Spalte die Koordinaten der einzelnen Vektoren stehen.
Wenn man nun das erweiterte Gausverfahren mit Umordnung auf diese anwendet, kann die Matrix immer in eine Form überführt werden, die wie flogt aussieht:
Die in den ersten r Spalten, wobei 0<=r<=n gilt, haben jeweils eine 1 in der k-ten Zeile und sonnst nur Nullen.
Die restlichen (n-r)-Spalten haben in den Zeilen 1 bis r beliebige Zahlen, und auf den letzen n-r Zeilen Nullen.
----------------------------
Beispiel:
Hier ein Beispiel mit Gausellimination für 4 Vektoren im R^3.
Die Vektoren sind hier:
v1=(-1,2,3)
v2=(-2,1,3)
v3=(4,3,1)
v4=(6,5,-2)
r ist hier 3.
(Für den weiten Beweis nicht weiter wichtige Anmerkung: Die Größe r heißt "Rang der Matrix" Man schreibt r=Rang(S))
(Ist geklaut von Matheplanet)
------------------------------
Nun sieht man, dass der r+1-te Koordinatenvektor über die ersten r Koordinatenvektoren darstellbar ist.
Dafür multiplizierst man den ersten Vektor
v1 jeweils mit der ersten Zahl der r+1-ten Spalte (also der Zahl in der ersten Zeile), den zweiten Vektor
v2 mit der Zahl in der zweiten Zeile der r+1-ten Spalte, usw bis dies mit allen ersten r vektoren gemacht wurde.(*) Da hast und addierst diese auf.
(*Man kann auch noch die restlichen Einträge mit den restlichen Vektoren multiplizieren und aufaddieren, es macht kein unterschied. Frage:Warum?)
-------------------------------
Im Beispiel:
Wenn du Obriges auf das Beispiel anwendest ergibt sich:
2*(-1,2,3)+(-2)*(-2,1,3)+1*(4,3,1)=(6,5,-2)
--------------------------------
Nun der finale Schritten für den Beweis(*):
Da maximal n Zeilen zu Verfügung stehen, aber n+1 Spalten, wirt es immer eine Spalte geben, die durch die ersten n (oder weniger) darstellen werden können.
=>
Du kannst also immer einen Vektor als linearkombination der anderen darstellen.
=> n+1 Vektoren im R^n sind immer l.a.
q.e.d.
das ist völlig "oversized" für die schule 
