Problem in der analytischen Geometrie

HyEnd · 28. November 2010

Hey Leute,

ich schreib am Mittwoch Langklausur in Mathe, und da kommt alles aus der Oberstufe dran, also auch die analytische Geometrie.

Da wir am Donnerstag Fachtag Mathe hatten, hab ich noch ne Aufgabe rumliegen, die nicht gelöst wurde. Dabei geht es um die Bestimmung einer Schnittgerade von 2 Ebenen.

E1: x=(0|0|20) + r*(1|0|0) + s*(0|2|-1)
E2: (0|1|2)#x-40=0

x= gesuchter Vektor
#=Skalarprodukt

Nun hat mir mein Lehrer, um die Gleichung zu lösen, gesagt, dass ich ja E1 in E2 für x einsetzen kann, also steht da:

(0|1|2)#((0|0|20) + r*(1|0|0) + s*(0|2|-1))-40=0

nun stellt sich mir die Frage, wie ich da weiterrechnen soll. Meiner Ansicht muss ich doch jetzt das Skalarprodukt ausmultiplizieren, oder? Oder kann ich die Gleichung so in ein System mit 3 Gleichungen setzen, sodass ich dann einfach das Skalarprodukt als ein "normales" Produkt behandeln kann?

Ich hoffe auf gute Antworten

Quackmoor · 28. November 2010

Schonmmal´was von 3 Gleichungen, 3 Unbekannte gehört?

ataris · 28. November 2010

du multiplizierst jetzt das skalarprodukt raus und dann hast du 3 gleichungen... und das ganze entweder über gleichsetzungsverfahren etc. oder über den gauss ausrechnen...

aber was macht das in nem computerforum? XD

Robert Alpha · 28. November 2010

Mir fällt immer wieder auf, dass unser Abi anscheinend viel leichter war, als das, was ich immer wieder mitkrieg.
Da hör ich dauernd Zeug, das ich noch nie gesehen hab

Aber wenn ich dich wäre, würd ich morgen nen Kollegen fragen und das mit dem ausdiskutieren, da lernt man besser, und zudem soll das hier ja auch kein Hausaufgabenforum sein

1668mib · 28. November 2010

@Robert Alpha: Was heißt leichter? Die Schüler haben sich die Sachen ja nicht herleiten müssen, sondern bekommen sie beigebracht... wenn das vernünftig gemacht wird, dann ist es auch nicht wirklich schwer...

Ansonsten vollkommen richtig, was du sagst.

@Quackmoor: ach jetzt weiß ich glaub, was du mit 3 unbekannte meinst...

Polycom · 28. November 2010

Achtung: Du hast den Stützvektor von E1 mit dem Normalenvektor von E2 multipiziert. Das ist in diesem Zusammenhang falsch^^
Du musst alle Komponenten - also auch die Richtungsvektoren mit ihren Parametern - einsetzen.

Beispiel) Die X3-Koordinaten von E1 werden durch die komplette dritte "Zeile" dargestellt. Deshalb setzt du für X3 in E2 ein:

20 + 0*r + (-1)*s

Das machst du nun auch für X2 und X1 und bekommt ein vielleicht überraschendes Ergebnis

slaves · 28. November 2010

ich seh in der aufgabe eigentlich kein problem (sollte man in der oberstufe ohne große bedenken lösen können) :

0. in Koordinatenform umwandlen.
1. mit der gauss elimination eine unbekannte eliminieren.
2. setzt dann eine der beiden unbekannten gleich einem freiem parameter (z.B. x2 = t)
3. in abhängigkeit von t den Schnittpunkt S ausrechnen.
4. der schnittpunkt muss dann in Aufpunkt und Richtungsvektor gespalten werden (wobei eben der parameter für den richtungsvektor t ist.
5. fertig!

Polycom · 28. November 2010

Nun, ein Oberstufenschüler könnte, wenn er genau hinschaut und die Hessesche Normalenform verstanden hat, mit einer kurzen Kopfrechnung feststellen, dass da keine Schnittgerade rauskommt.
Die Aufgabe ist insgesamt sehr einfach - man kann sie elgeganter lösen, als in deinen 5 Schritten dargestellt

1668mib · 28. November 2010

@Polycom: "und bekommt ein vielleicht überraschendes Ergebnis"
Oder halt auch nicht ;-)

Ja, wenn man das Kreuzprodukt der beiden aufspannenden Vektoren macht sieht man auch direkt, dass der Vektor der anderen Ebene rauskommt...

HyEnd · 28. November 2010

@ slaves
was bitte ist die gauss elimination, das sagt mir jetzt gar nichts (haben wir glaub ich auch nie gemacht)

@polycom
also wenn ich das richtig verstehe, muss ich jetzt einfach das gleichungssystem mit 3 Gleichungen und entsprechend 3 Unbekannten bilden. das dann auflösen und ich bekomm ein Ergebnis für die Parameter, mit denen ich dann einen Schnittpunkt berechnen kann.

1668mib · 28. November 2010

@HyEnd: Einen Schnittpunkt? Du hast die Aufgabe schon verstanden, oder?

HyEnd · 28. November 2010

ziel ist letzenendes ja die Schnittgerade, also benötige ich doch wohl mind. einen Schnittpunkt, genauer gesagt 2 Schnittpunkte, um damit dann die Gerade aufstellen zu können.

PS: sry, wenn ich etwas dämlich bin grade, nur hab ich seit einem Jahr keine analytische geo mehr gehabt und hab deswegen einiges verlernt (auch wenn ich die Theorie versteh)...

slaves · 28. November 2010

Polycom schrieb:
Nun, ein Oberstufenschüler könnte, wenn er genau hinschaut und die Hessesche Normalenform verstanden hat, mit einer kurzen Kopfrechnung feststellen, dass da keine Schnittgerade rauskommt.
Die Aufgabe ist insgesamt sehr einfach - man kann sie elgeganter lösen, als in deinen 5 Schritten dargestellt

mit sicherheit (soweit hab ich grad auch gar nicht gedacht und leider darf ich mit der HNF auch nicht arbeiten

), aber ich wollte eine allgemeingültige lösung liefern, die man auch auf andere aufgaben anwenden kann.

@HyEnd

Zitat aus meinem Mathe Skript:
"Die Idee des Gauß’schen Eliminationsverfahrens ist, das LGS durch elementare Umformungen auf eine Gestalt zu bringen, in der sich das (äquivalente) LGS einfach lösen lässt."

Die Erklärung bei Wikipedia, finde ich nicht schlecht. Bei Bedarf kannst du ja dort mal reinschauen !

Polycom · 28. November 2010

@HyEnd
Es ist noch einfacher.

In E2 steht doch ein Vektor namens X. Setze hier einfach E1 komplett ein.

In deinem ersten Ansatz hast du ein Produkt gebildet, dass es nicht gibt.

Bsp: A*(b + c + d) ergibt ausmultipliziert eben a*b + a*c + a*d
Du hast aber gebildet: a*b +c +d -> das ist nicht identisch!

Nochmal:
Der Vektor X aus E2 besteht doch aus einer X1, X2 und X3 Koordinate.

Setze einfach mal die X1, X2, X3 von E1 ein - und alles wird gut

Noch ein Tipp, wobei es dann echt einfach wird:
Deine X1, die du von E1 ablesen kannst, sind:
0 (Stützvektor) + 1*r (Richtungsvektor "r") und 0*s (Richtungsvektor "s").
Das machst du mit allen drei Koordinaten und bildest das Skalarprodukt, von dem du die Zahl 40 abziehst. Und dann rechnest du elementar weiter.

Der Weg ist das Ziel, deshalb habe ich eigentlich schon zuviel geholfen^^

1668mib · 28. November 2010

du bekommst in der Lösung ja direkt einen Schnittpunkt und den Richtungsvektor (oder halt auch nicht)
Aber du rechnest das in einem Schritt aus... weil du bekommst einen Schnittpunkt in Abhängigkeit einer Variablen => das ist nichts anderes als die gesuchte Gerade
[wenn es denn eine gibt]

und nun bin ich ruhig, bekomm bestimmt eh wieder ne Verwarnung...

Airbag · 28. November 2010

was bitte ist die gauss elimination, das sagt mir jetzt gar nichts (haben wir glaub ich auch nie gemacht)

Noch nie was von Gausverfahren gehört ? --> immerhin ist sowas Standardkost, die man drauf haben muss. Dürfte in jedem Lehrplan stehen und wird in der 11Klasse gemacht.
Erster Treffer bei Google.
http://home.arcor.de/penneweb/Abi2004/Gauss.html

HyEnd · 28. November 2010

ich hab grad nen elementaren Fehler im ersten Post festgestellt: die richtigen Ebenen sind diese hier:
E1: (0|1|2)#x-40=0
E2: (10|30|23)+r*(0|0|1)+s*(2|-4|-1)

demnach stimmt auch die These mit dem gleichen Normalenvektor von weiter oben nicht mehr

@ polycom
ich hab doch um die ganze E1 in der zweiten gleichung noch klammern drum gemacht, sogesehen passt das dann doch

Polycom · 28. November 2010

lol, macht aber nix.

Die genannten Lösungswege sind trotzdem richtig - nur kommt jetzt tatsächlich eine Schnittgerade heraus.

MfG

Cattivo · 28. November 2010

Quackmoor schrieb:
Schonmmal´was von 3 Gleichungen, 3 Unbekannte gehört?

Schonmal was von auf Fragen nicht mit Gegenfragen antworten weils dumm und unhöflich ist gehört?
Dem TE hilft so etwas jedenfalls nicht wirklich weiter...

slaves · 28. November 2010

ich hab mal auf die schnell was zusammengeschrieben. vll hab ich deine angabe auch falsch interpretiert

aber es geht ja nur ums prinzip

Problem in der analytischen Geometrie

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