PHP Immer die Hälfte eines Wertes anzeigen.

[te one]

Genau der Meinung bin ich auch.

Wenn man statt 0,periode 9 von 1 spricht hat man meiner Meinung nach genau diesen Teil unterschlagen.
Und wenn man sich mal vorstellt, dass die unendlichkeit irgendwo endet, dann wäre genau an dieser Stelle die 1 nötig um auf 1 zu kommen. Wenn da keine 1 hinkommt wird das nie 1 erreichen.

Mag sein, dass man das als Mensch gleichsetzt, aber effektiv ist es das nicht.
Meine Antwort wäre also:
Die Zahlen sind zwar das gleiche (wobei ich das nur schweren Herzens sage^^) aber nicht das selbe.

 

[Krik]

Ich denke, es liegt am Dezimalsystem, dass diese Rechnung für einige verwirrend erscheint.

Hätten wir zB ein 9er System, dann sähe das so aus:
Ziffern von 0 bis 8
1 / 3 = 0,3
0,3 * 3 = 1
Hier geht das wunderbar auf.

Nur im Dezimalsystem erscheint es unlogisch. Deshalb habe ich ja gemeint 3 * 0,333... = 1.

 

[te one]

Aber gibt es in andere Zahlensystemen nicht vielleicht auch ähnliche Probleme.
Weil 1/3 ist im 8er-Zahlensystem was ganz anderes als 1/3 im Dezimalsystem!!!

Was ergibt denn 1/11 im Binärsystem?

 

[BlackMark]

Weil 1/3 ist im 8er-Zahlensystem was ganz anderes als 1/3 im Dezimalsystem!!!

Nein, ist es nicht! 1 und 3 sind in beiden Zahlensystemen das Gleiche! Erst ab 8 unterscheiden sich die Zahlen!

1 Binär = 1 Dezimal
7 Octal = 7 Dezimal
9 Hexadezimal = 9 Dezimal

Das sind die größten Ganzen Zahlen, die in jeweils beiden Zahlensystemen gleich sind.

Edit:
Zu 0,9[...] = 1:

Hier etwas, was jeder verstehen und einsehen sollte:
Dieser Satz ist mathematisch bewiesen: "Jede Zahl aus dem Zahlenbereich der Ganzen Zahlen ohne die Null, die durch sich selbst dividiert wird ergibt immer 1!"
Also: 1/1 = 1; 2/2 = 1; ... 8/8 = 1; 9/9 = 1;

Dass 9/9 = 0,9[...] ergibt sind wir uns wohl alle einig, oder?
Aber, 9/9 = 1 trifft wegen oben genanntem Satz auch zu.

Das bedeutet, dass 1 = 0,9[...] ebenfalls stimmen muss, oder?

Wo liegt also das Problem? Ich sehe hier keine Gleichung die nicht stimmt.

Gruß
BlackMark

 

[te one]

Stimmt bis 8 sind se tatsächlich gleich...
Was ich eigentlich sagen wollte, ist, dass es in anderen Zahlensystemen bestimmt auch ähnliche Probleme gibt.

Dass 9/9 = 0,9[...] ergibt sind wir uns wohl alle einig, oder?

Wie kommt man denn bitte darauf? Dass es 1 ist ist ja wohl klar. Aber dass es 0,999... ergibt??

Den Satz gibt es bestimmt auch anders formuliert:
"Jede Zahl aus dem Zahlenbereich der Ganzen Zahlen ohne die Null, ergibt nur durch sich selbst dividiert 1!"
1/0,99... wäre dann also nicht 1.

Ich nehm das ganze jetzt einfach mal so hin. Für mich bleiben die beiden Zahlen aber weiterhin unterschiedlich.
Denn von 0,999 auf 1 fehlt einfach ein Stückerl.

 

[powerfx]

Denn von 0,999 auf 1 fehlt einfach ein Stückerl.

Genau und zwar quasi 0,0̅1.
Eine solche Zahl gibt es aber nicht, da die Periode unendlich ist und danach nichts mehr stehen kann.

 

[Chtulhu]

0,(periode)9 ist einfach eine andere Schreibweise für 1, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch

Die Perioden-Schreibweise lernt man in der sechsten Klassen, da kennt man aber den Grenzwertbegriff nicht (der kommt -wenn überhaupt- erst in der Oberstufe), sodass für die allermeisten Leute unklar bleibt, was die Periodenschreibweise eigentlich präzise bedeutet.

Sie repräsentiert nämlich einen Grenzwert, zB 0,(periode)3 ist der Grenzwert der Folge (0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...). Und dieser Grenzwert ist 1/3. Man beachte, dass 0,(periode)3 tatsächlich für den Grenzwert steht, und nicht etwa für die Folge. Daher wäre es auch völlig falsch zu sagen, dass 0,(periode)3 "strebt" (gegen 1/3). Sondern die Folge (0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...) strebt, und zwar gegen 0,(periode)3=1/3.

Daher ist auch 0,(periode)9=1, denn 0,(periode)9 ist der Grenzwert der Folge (0,9; 0,99; 0;999, 0,9999; ...).

Was man in der sechsten Klasse gelernt hat, reicht zwar nicht zum verstehen warum, aber durchaus dass 0,(periode)9=1 ist, denn da lernt man gewöhnlich auch das Umrechnungsvefahren "Schreibe die Periode als ganze Zahl in den Zähler und in den Nenner eine Zahl bestehend aus sovielen Neunern, wie die Periode lang ist", womit periodische Dezimalzahlen in Brüche umgerechnet werden können.

Nach dieser Methode erhält man zB 0,(periode)27 = 27/99 = 3/11, oder auch 0,(periode)3=3/9=1/3, und eben 0,(periode)9=9/9=1.

 

[te one]

Genau und zwar quasi 0,0̅1.
Eine solche Zahl gibt es aber nicht, da die Periode unendlich ist und danach nichts mehr stehen kann.

Dann ist das eben ne Periode die unendlich-1 ist. Wer sagt das es sowas nicht geben kann?

Aber mal was grundlegendes zu Zahlensystemen:
Die Summe aller Ziffern (außer der höchstwertigsten) multipliziert mit ihrem jeweiligen Stellenwert ist immer niedriger als der Stellenwert der höchstwertigsten Ziffer.

D.h. mal ganz einfach: Beginnt die Zahl mit einer 0 an der Stelle die 10 hoch 0 wert ist (also erste Stelle links vom Komma), können darauf noch so viele Ziffern folgen, es wird immer unter diesem Wert bleiben (also immer unter 1).
Dieser Satz gilt für alles Zahlensysteme.
Im Binärsystem kann man auch keine Zahl>=1024 darstellen wenn man nicht genau dieses Bit setzt. Denn mit den anderen niederwertigeren Ziffern kommt man maximal auf 1023.
Wenn man nun Nachkommastellen im Binärsystem nutzt, kommt man bis zu den 1023 und ewig vielen neunern. Aber NIE NIE NIE kommt man auf 1024. Denn dafür müsste das entsprechende Bit gesetzt sein.

Das einzige warum man das mit den Brüchen erklären kann ist die ungenauigkeit beim umrechnen in eine Kommazahl.
Denn wenn man den Rest (der theoretisch nach der unendlichsten Stelle kommt) auch drittelt, kann man diesen Rest am Ende wieder zusammensetzten und erhält genau diese eine 1 die zum umspringen von 0,9999... auf 1 benötigt wird.

So wären wir wieder bei meiner Gleichung von vorhin, dass man eben nach der unendlichsten Stelle nochmal ein Drittel dazuzählen müsste um es ganz genau zu haben. (Schreibt man dieses Drittel wieder als Kommazahl geht der Spaß erneut los)


Aber schon allein durch den oben genannten Grundsatz von Zahlensystemen kann das nicht die gleiche Zahl sein!

edit: Letztenendes möcht ich noch los werden: Das Problem scheint mir hier nicht daran zu liegen, dass 0,999...=0 ist, sondern dass die Umrechnung von 1/3 zu 0,333... einfach falsch ist.

 

[Banthor]

Siehe #48. Irgendwo fehlt halt immer die 0,...1 um auf 1,0 zu gelangen. Natürlich kann man es als Bruch schreiben, aber wenn dezimal 0,999... steht, fehlt immer irgendwas um auf 1,0 zu kommen.

Falsch. Da fehlen keine 0,00000....1 zur 1.

Wer nicht nachvollziehen kann, dass 0,9.... = 1 ist, der kann auch nicht glauben, dass 0,3... einem Drittel entspricht - dies wir komischerweise von niemandem bezweifelt.

Ich für meinen Teil gebe auf es erklären zu wollen. Wer hier noch etwas schreibt sollte wenigstens den vielfach zitierten Wikipediaartikel lesen und verstanden haben - ansonsten erübrigt sich jede weitere Diskussion hierzu.

 

[1668mib]

1/3 ist 0-Komma-Periode-3... was gibts denn da zu rütteln? oO
Was soll daran ungenau sein?

Wenn du schon von Grundsätzen von Zahlensystemen sprichst, dann finde ich ist ein Grundsatz, dass zwischen zwei beliebige (verschiedene) Zahlen immer beliebig viele andere passen... Wenn 0,[periode]9 und 1 nicht die selben Zahlen sein sollen, dann dürfte es doch für dich ein leichtes sein, eine Zahl zu nennen, die dazwischen liegt.

Es gibt keine solche Zahl. Damit strebt die Differenz von 0,[periode]9 und 1 auch nicht gegen 0, sie ist 0, weil es keine gibt.

Oder könntest du mir bitte mal sagen, was an dieser Rechnung sonst falsch ist:
man definiere
a = 0,[periode]9 (I)

das ganze Mal 10 ergibt:
10a = 9,[periode]9 (II)

Nimmt man die Differenz beider Formeln (II - I) ergibt:
9a = 9
woraus folgt dass
a = 1
Die Definition zu Beginn war aber, dass a = 0,[periode]9 ist.
Entweder habe ich falsch gerechnet, oder die Zahlen sind wirklich das selbe.

 

[Chtulhu]

Verwechselt doch nicht immer und immer wieder die Folge mit dem Grenzwert.

Aber NIE NIE NIE kommt man auf 1024. Denn dafür müsste das entsprechende Bit gesetzt sein.

Das stimmt für die betreffende Folge.

Denn wenn man den Rest (der theoretisch nach der unendlichsten Stelle kommt)

Es gibt keine "unendlichste Stelle". Auch nicht theoretisch. Unendlich heißt ja gerade, dass etwas nie endet.

So wären wir wieder bei meiner Gleichung von vorhin, dass man eben nach der unendlichsten Stelle

Es gibt keine "unendlichste Stelle".

nochmal ein Drittel dazuzählen müsste um es ganz genau zu haben. (Schreibt man dieses Drittel wieder als Kommazahl geht der Spaß erneut los)

Man hat es mit endlich vielen Nachkommastellen eben nie genau.

Aber schon allein durch den oben genannten Grundsatz von Zahlensystemen kann das nicht die gleiche Zahl sein!

Die Perioden-Schreibweise ist eine Erweiterung des Stellenwertsystems. Unendlich viele Nachkommastellen sind ohne eine solche Erweiterung ja auch gar nicht definiert. Und definiert ist diese Erweiterung über den Grenzwert. Das nennt sich dann Dezimalbruchentwicklung, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalbruchentwicklung#Dezimalbruchentwicklung

Letztenendes möcht ich noch los werden: Das Problem scheint mir hier nicht daran zu liegen, dass 0,999...=0 ist, sondern dass die Umrechnung von 1/3 zu 0,333... einfach falsch ist.

Wenn die Pünktchen für "ganz viele" oder "ich kann immer noch war dranhängen" o.ä. stehen, dann wäre das in der Tat falsch. Wenn sie für "Periode" stehen, wäre es richtig. Daher sollte man schon präzise hinschreiben, was man meint.

0,(periode)3 = 1/3, denn 0,(periode)3 ist der Grenzwert von (0,3; 0,33; 0,333;...)

0,(periode)9 = 1, denn 0,(periode)9 ist der Grenzwert von (0,9; 0,99; 0,999; ...)

Wenn da "Periode" steht (eigentlich mit dem Periodensrich, den man hier leider nicht machen kann), dann ist obiges richtig. Lies doch erstmal die beiden wikipedia-Artikel, auf die hier schon verlinkt wurde.

 

[Tumbleweed]

Wenn das nicht der abgefahrenste Thread des Monats/Quartals/Jahres ist, dann weiß ich auch nicht. Mal ganz abgesehen davon, dass der Threadersteller selbst sofort nach seiner seltsamen Frage verschwunden ist (kann auch nicht glauben, dass er das selbst gepostet hat, angesichts seiner bisherigen Beiträge), habt ihr es doch tatsächlich geschafft bereits 7 Seiten offtopic zu blubbern über etwas, was eifrige Mathematiker schon vor etlich vielen Jahren definiert haben. Und dann registriert sich tatsächlich noch einer extra um mitzumachen (Willkommen übrigens!).

Daumen hoch!

 

[Chtulhu]

Und dann registriert sich tatsächlich noch einer extra um mitzumachen

Das hat mich halt gerade gejuckt , weil ich Mathematik studiert habe - aber ich war schon auf der Suche nach Computerthemen, als ich diesen Thread zufällig entdeckte.

(Willkommen übrigens!).

Besten Dank!

 

[voodoo44]

Dann ist das eben ne Periode die unendlich-1 ist. Wer sagt das es sowas nicht geben kann?

Und was ergibt unendlich-1? Ist das kleiner als 2*unendlich?

 

[BlackMark]

Wie kommt man denn bitte darauf? Dass es 1 ist ist ja wohl klar. Aber dass es 0,999... ergibt??

Ich dachte es wäre andersrum nicht klar, weil schon viele 9/9 als 0,9[...] dargestellt haben und da niemand etwas dagegen sagte. Aber dann halt noch einmal:
9/9 = 9 * 1/9
1/9 = 0,1[...]
9 * 0,1[...] = 0,9[...]
Ist es dir jetzt klar, dass 9/9 = 0,9[...] ist?

Aber wenn ihr es nicht einsehen wollt, dann von mir aus. Aber es ist ein mathematischer Fakt, dass 0,9[...] das Gleiche wie 1 ist. Daran könnt ihr sowieso nichts ändern!

Gruß
BlackMark

 

[Chtulhu]

Und wenn man sich mal vorstellt, dass die unendlichkeit irgendwo endet,

Dann stellt man sich was Falsches vor, denn der Begriff "Unendlichkeit" bezeichnet immer etwas, was nie endet (UN-ENDlichkeit, das sagt ja schon das Wort)

dann wäre genau an dieser Stelle die 1 nötig um auf 1 zu kommen. Wenn da keine 1 hinkommt wird das nie 1 erreichen.

Ganz genau. Denn wenn man sich vostellt, das es endet, hat man sich bloß etwas Endliches vorgestellt. Da muss man sich nicht wundern, dass noch was zur 1 fehlt.

Doch könnte man nach diesem Ende dann ja genausogut noch eine 9 anhängen, dann noch eine und noch eine und...

Mag sein, dass man das als Mensch gleichsetzt, aber effektiv ist es das nicht.

Es ist in der Tat nicht effektiv, das, was nie endet, gleichzusetzen mit dem, was irgendwo ein Ende hat. Das ist nämlich Begriffsverwirrung.

Die Zahlen sind zwar das gleiche (wobei ich das nur schweren Herzens sage^^) aber nicht das selbe.

Die gleiche Zahl, zwei unterschiedliche Schreibweisen.

 

[NetCrack]

http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)

lim (x->0) 1/x = unendlich
1/0 = nicht definiert

Was mich aber eigentlich viel mehr interessiert ist wieso löst n unnützer Thread so ne obskure Diskussion über Grundbegriffe der Mathematik aus

 

[te one]

@1668mib: Warum muss es eine Zahl zwischen zwei Zahlen geben damit diese beiden unterschiedlich sind?
Wenn man nur ganze Zahlen betrachtet gibt es auch keine Zahl zwischen 1 und 2 und trotzdem sind diese nicht gleich.

Zitat von te one:
Aber NIE NIE NIE kommt man auf 1024. Denn dafür müsste das entsprechende Bit gesetzt sein.
Zitat von Chtulhu:
Das stimmt für die betreffende Folge.

Und da kommt aber Wikipedia schon wieder daher und behauptet, dass es hiermit auch gehen sollte (1023 und unendlich viele Nachkomma-Bits auf 1).

@Tumbleweed:
Stell mal deine Auflösung um dann sinds nur 4 Seiten.
Wer sagt aber denn dass die Mathematiker recht hatten? (Möchte ihnen jetzt keinesfalls unterstellen, dass das nicht stimmt, aber womöglich passt da ja wirklich was nicht^^)

@BlackMark:
Auch hier wäre wieder eine umwandlung eines Bruchs in eine Kommazahl.

@Chtulhu:
Wenn ich immer zB 3*3 rechne und das jahrlang hintereinander schreibe, dann habe ich 0,(periode)9 (zumindest eben ganz viele)
Aber egal wie lange ich das auch tue, die Zahl ist immer kleiner als 1...
Selbst wenn ich das "unendlich" schnell tue ist meiner Meinung nach immer kleiner.

Ich bleib bei meiner Formel, dass zur beibehaltung der Genauigkeit zusätzlich 1/3 nötig ist:
1/3 = 0,3333 (x-mal die 3) + (1/3)/(x*10)
Das gibt multipliziert mit 3
0,9999 + 3*((1/3)/10000)
--> 0,9999 + 0,0001
Wenn hier jemand es der Mathematik studiert hat kann er da ja mal vielleicht unendlich einsetzen^^

Werd mir demnächst nochmal die Wiki-einträge anschauen aber bis jetzt habe ich noch kein Argument gefunden, das mich überzeugen würde
An der unendlichsten Stelle fehlt einfach noch zusätzlich eine 1 damit das ganze auf die Zahl 1 umspringt.

Geht mir leider so, dass ich mich nicht vom Wiki überzeugen lasse nur weil es da so steht. Ich glaube nur was ich auch ganz genau verstanden habe

 

[BlackMark]

@BlackMark:
Auch hier wäre wieder eine umwandlung eines Bruchs in eine Kommazahl.

Und das soll bedeuten?

Nenn mir bitte warum die Umwandlung eines Bruches in eine Kommazahl etwas falsches / schlechtes oder was auch immer ist?

1/9 = 0,1[...] ( Wobei [...] für periodisch steht )
Daran ist nichts falsch, das ist eine wahre Aussage! Durch diese Umschreibung geht auch nichts verloren, es handelt sich nach wie vor um den gleichen Wert, nur anders dargestellt. Erst wenn man runden würde, würde man die Genauigkeit beeinflussen und den Wert verändern, aber solange der Wert periodisch ist, handelt es sich nur um einen dezimal dargestellten Bruch!

Falls du etwas anderes beweisen kannst, bitte, nur zu! Aber ansonsten verstehe ich nicht, warum es dir nicht einleichtet, dass 0,9[...] gleich 1 ist!
Mag sein, dass es so keinen Sinn macht, aber es kann mathematisch bewiesen werden und somit ist es definiert und daran gibt es nichts zu rütteln!

Edit:
Deine "Formel" sagt nichts aus. Hier warum:
1. Vom ersten auf den zweiten Schritt hast du schon einmal das x ( x = unendlich ) wegfallen lassen.
2. Wenn du deine Formel, ohne sie mit 3 zu multiplizieren ausrechnest, dann kommt 1/3 = 0,3[...] heraus!

Beweis:
Grundlage ist, dass 1/unendlich = 0 gilt, was mathematisch so definiert ist. Kannst du gern nachprüfen!

Dann wäre deine Formel mit x = unendlich:

1/3 = 0,3[...] + ( 1/3 ) / ( x * 10 )     // unendlich mal 10 = unendlich
1/3 = 0,3[...] + ( 1/3 ) / ( x )
1/3 = 0,3[...] + 1/3 * 1/x     // 1 / unendlich = 0
1/3 = 0,3[...] + 1/3 * 0
1/3 = 0,3[...] + 0
1/3 = 0,3[...]     // w.A.

Wie du siehst beweist deine Formel gar nichts, außer dass das Umschreiben von Bruch zu Dezimal den Wert nicht verändert! Danke für die Unterstützung meiner Aussage!

Gruß
BlackMark

 

[Chtulhu]

Zitat von te one:
Aber NIE NIE NIE kommt man auf 1024. Denn dafür müsste das entsprechende Bit gesetzt sein.
Zitat von Chtulhu:
Das stimmt für die betreffende Folge.

Und da kommt aber Wikipedia schon wieder daher und behauptet, dass es hiermit auch gehen sollte (1023 und unendlich viele Nachkomma-Bits auf 1).

Nicht die Folge mit dem Grenzwert verwechslen (s.u.). Und bitte keinen Computer-Sprech in diesem Zusammenhang verwenden. Es gibt keine unendlich vielen Bits in welchem Computer auch immer, da fördert Computer-Terminologie Missverständnisse.

@Chtulhu:

Wenn ich immer zB 3*3 rechne und das jahrlang hintereinander schreibe, dann habe ich 0,(periode)9 (zumindest eben ganz viele)

"Ganz viele" ist nicht dasselbe wie unendlich. Auch 10^100000000000^10000000000000^10000000000 ist nicht dasselbe wie unendlich. Du hast dann nicht 0,(periode)9, sondern bloß eine Zahl mit sehr vielen, aber endlich vielen Neunern nach dem Komma. Und das ist nicht 0,(periode)9. (Dies erreicht man so ohnehin nicht, s.u.)

Aber egal wie lange ich das auch tue, die Zahl ist immer kleiner als 1...

Völlig richtig. Aber wie schon gesagt: Nicht die Folge mit dem Grenzwert verwechseln.

Das Anhängen immer noch einer 9 ist genau die Konstruktion der Folge (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; 0,99999; ...). Werden die Folgenglieder im Sekundentakt gebildet, so hat man nach n Sekunden n Neuner nach dem Komma. Keine dieser Zahlen ist 1, und keine dieser Zahlen ist 0,(periode)9.

Du wirst aber schon bemerkt haben, dass du dabei der 1 immer näher kommst, oder? Und zwar nicht nur überhaupt "irgendwie" näher, sondern so, dass der Abstand kleiner wird als jeder beliebige noch so kleine (aber von 0 verschiedene) Abstand. Ist dir klar, dass wenn man einen winzig kleinen Abstand zur 1 vorgibt, man dann nur genügend viele Neuner nach dem Komma schreiben muss, um näher an der 1 zu sein als dieser Abstand? Und dass man mit jeder weiteren 9 noch näher kommt? Soweit klar? Gibt es noch eine Zahl außer der 1, der du mit (0,9; 0,99; 0,999;...) in dieser Weise näherkommst? Sicher nicht, oder? - Wenn du dies alles bejahen kannst, dann hast du den Grenzwertbegriff im Prinzip verstanden.

Und dieser Grenzwert ist per Definition mit 0,(periode)9 gemeint. Entsprechend ist mit 0,(periode)3201 der Grenzwert der Folge (0,3201; 0,32013201; 0,320132013201; ...) gemeint, und so für alle periodischen Dezimalzahlen.

0,(periode)Irgendwas steht für diejenige eindeutig bestimmte Zahl, der man durch (0,Irgendwas; 0,IrgendwasIrgendwas; 0,IrgendwasIrgendwasIrgendwas; ...) beliebig nahe kommt (=Grenzwert).

Selbst wenn ich das "unendlich" schnell tue ist meiner Meinung nach immer kleiner.

Du kannst es tun bis in alle Ewigkeit, es wird zu keinem Zeitpunkt unendlich sein. Werden die Neuner im Sekundentakt angehängt, dann ist die Zahl nach n Sekunden n Stellen lang. Sie hat nie unendlich viele Stellen. Nach n=10^100000000000^10000000000000^10000000000 Sekunden hat sie eben 10^100000000000^10000000000000^10000000000 Stellen nach dem Komma. Das ist viel, aber nicht unendlich.

Ich bleib bei meiner Formel, dass zur beibehaltung der Genauigkeit zusätzlich 1/3 nötig ist:
1/3 = 0,3333 (x-mal die 3) + (1/3)/(x*10)
Das gibt multipliziert mit 3
0,9999 + 3*((1/3)/10000)
--> 0,9999 + 0,0001

Das ist ja auch richtig. Dies x ist aber eben immer ein endlicher Wert.

Wenn hier jemand es der Mathematik studiert hat kann er da ja mal vielleicht unendlich einsetzen

"Unendlich" kann man da nicht einsetzen, weil "unendlich" keine Zahl ist. Da muss man den Grenzwert bestimmen. Periodische Dezimalzahlen fallen unter die sog. "geometrischen Reihen", für deren Grenzwerte gibt es sogar einen Formel, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

An der unendlichsten Stelle

Es gibt keine "unendlichste Stelle".

Die Nachkommastellen lassen sich leicht nummerieren: die erste, die zweite,...., die i-te,... Eine letzte Stelle müsste eine Nummer haben, sagen wir n. Wäre es die letzte, dann würde natürlich 10^-n zu 1 fehlen. - Aber dann wäre es ja auch nicht 0,(periode)9 gewesen, sondern bloß eine Zahl mit n Nachkomma-Neunen. Was ist denn mit der (n+1)-ten, der (n+2)-ten etc Stelle?

Aber auch mit dem Anhängen der (n+1)-ten, der (n+2)-ten etc 9 wird die 1 nicht erreicht. Sie wird auf diese Weise überhaupt nicht erreicht. Aber sie ist der Grenzwert dieser Annäherung (dieser Folge). Und dieser Grenzwert ist mit der Perioden-Schreibweise gemeint.

fehlt einfach noch zusätzlich eine 1 damit das ganze auf die Zahl 1 umspringt.

Da du dir das erneut als endend, also endlich, vorstellst, ist das ja auch kein Wunder. - Aber es gilt auch: Es springt da niemals etwas um. Sondern 0,(periode)9 bzw 0,(periode)3 etc stehen für die Grenzwerte der entsprechenden Folgen. Diese Grenzwerte werden durch fortgesetztes Anhängen von Ziffern niemals erreicht, sondern beliebig angenähert. Und genau diese Grenzwerte sind mit der Perioden-Schreibweise gemeint. Die Perioden-Schreibweise sagt zwar, wie die Folge aussieht (welche Ziffern immer und immer wieder angehängt werden), die Schreibweise meint aber nicht diese Folge selbst, auch kein bestimmtes Folgenglied, sondern immer den Grenzwert dieser Folge. Das ist eben so definiert. Daher 0,(periode)3=1/3 etc

Und nu ist aber genug