Kleine Frage zur Mathematik

[Franky90]

Hi,
ich habe eine kleine Frage und wollte mich nicht extra in einem Mathematikforum anmelden.

Es geht um Markow-Ketten:

Liege ich richtig in der Annahme, dass es Grenzmatrizen und damit stationäre Zustände nur bei stochastischen Übergangsmatrizen (Zeilen- oder Spaltensummen = 1) geben kann?

Vielen Dank

 

[Kingfisher OK]

Evtl. hilf es dir ja:

Analog lässt sich die Markow-Kette auch für kontinuierliche Zeit und diskreten Zustandsraum bilden. Das heißt, dass sich zu bestimmten Zeitpunkten der Zustand sprunghaft ändert.

Sei (X(t))_{t \ge 0} ein stochastischer Prozess mit kontinuierlicher Zeit und diskretem Zustandsraum. Dann gilt bei einem homogenen Markow-Prozess

\forall n \in\N,\ 0 < t_1 < \dotsb < t_n,\ t > 0,\ i_1, \ldots, i_n, j \in S:

\begin{align} P(X(t_n + t) = j | X(t_n) = i_n, \ldots, X(t_1) = i_1) &= P(X(t_n + t) = j | X(t_n) = i_n)\\ &= P(X(t) = j | X(0) = i_n)\\ &=: p_{i,j}(t) \end{align}

Auch hier lassen sich Übergangsmatrizen bilden: P(t): = [pi,j(t)] für alle t > 0 und P(0): = I (Hierbei steht I wie üblich für die Einheitsmatrix).

Sowas tolles findet man übrigends bei Wikipedia

LG

 

[DarthFilewalker]

Hallo Franky90!

In diesem Forum und vor allem im Unterforum "Bildung, Beruf und Zukunftspläne" wirst du wahrscheinlich keine Antwort auf deine Frage bekommen

Hier hast du einige Links zu Matheforen:

http://www.onlinemathe.de/

http://www.matheplanet.com/

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewf/7,0.html

Und hier hast du einen Link, welches sich mit diesem Thema beschäftigt:

http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=86781

Du wirst wohl in den sauren Apfel beißen und dich da anmelden müssen


MFG

DarthFilewalker

 

[Aral]

naja die Zeilen sollten immer 1 ergeben sonst ist es per Def. keine MC.
Ob es Grenzmatrizen gibt erfaehrst du nur ob das augestellte Gleichungssystem ne Loesung hat...

 

[Franky90]

Danke für die vielen Links, ich hatte auch schon bei google gesucht, aber dort wird das alles immer sehr sehr umständlich beschrieben.
Ich hätte ganz gerne eine kurze und klare Antwort.^^

Also...ich möchte nur wissen, ob eine stochastische Matrix die Voraussetzung für eine Grenzmatrix und damit eine stationäre Verteilung bei Markow-Ketten ist. Dass es so etwas nicht immer gibt, ist klar.

Ich denke, dass hier mathematisch begabte Nutzer angemeldet sind, die mir diese Frage beantworten können

 

[Aral]

ja es ist eine Vorraussetzung dafuer. Aber man kann die MC auch anders als eine Uebergangsmatrix darstellen. Ich mein die Matrix is nur eine Art eine MC zu beschreiben.

 

[Franky90]

meinst du mit MC Markow-Kette? (Chain?)
Naja, ich kenne nur das mit der Matrix und halt als Übergangsgraph. Aber zur Berechnung taugt ja nur die Matrix...

 

[phil.]

@DarthFilewalker, wie kommst du zu dieser Erkenntnis? Ist das Boardieniveau in diesem Forum, besonders
in BBZ, so gering das keine Antwort zu erwarten ist?

37,6 Prozent der Besucher verfügen über die Hochschulreife, 37,2 Prozent über die mittlere Reife. 66,6 Prozent der Leser sind berufstätig...

 

[Aral]

Genau MC = Markov Chain.

Wie gesagt, die bedingungen dass ein Zustand ueberhaupt eine stationaere Warschk. hat sind komplizierter. Du brauchst aber logischerweise eine MC zuersteinmal um eine Stationaere Verteilung (evtl) finden zu koenne. Ob du nun das ganze mit gleichungen (die du aus einem Graphen abgeleitet hast) rechnest oder mit hilfe von Matrizen machst ist genau das gleiche (essentialy)

 

[Cezka]

@DarthFilewalker, wie kommst du zu dieser Erkenntnis? Ist das Boardieniveau in diesem Forum, besonders
in BBZ, so gering das keine Antwort zu erwarten ist?

Glaube keiner Statistik die du nicht selber gefälscht hast.
Interessant ist nur wie man auf 140 Prozent kommt und noch dazu die ausgenommen die in der Schule sind.

 

[rubski]

Interessant ist nur wie man auf 140 Prozent kommt und noch dazu die ausgenommen die in der Schule sind.

Also wenn das ernst meinst, dann solltest du vielleicht besser einen gleichlautenden Thread aufmachen...

Denn wenn zusätzlich noch 25 Prozent der User blond sind, und sich 85 Prozent die Schuhe nicht selber zubinden können, dann wären wir ja schon auf über 250 Prozent, und das kann ja nun wirklich nicht sein.

mfg rubski

 

[Cezka]

Das war ironisch gemeint ohhh man und dann soll jemand mal von Niveau reden

 

[Franky90]

@Aral

Dass ich eine Markowkette brauche, um eine stationäre Verteilung zu bekommen, weiß ich. Aber ich brauche auch eine stochastische Matrix oder? Oder sind stochastische Matrizen überhaupt Voraussetzung für eine Markowkette? Bin gerade etwas verwirrt, sry...

(stochastische Matrix:Spaltensummen=1)

Danke

 

[Aral]

Das ganze Ding ist: Was ist eine MC? Per Def. hat eine MC Zustaende und Uebergangswarscheinlichkeiten. Nun wenn du eine MC hast dann musst du entweder hinschreiben: Zustand 1,2,...n und die uebergaenge sind volgendermasen: ....
So nun kannst du das entweder in Worten einfach hinschreiben oder du kannst eine kleine Grafik machen mit huebschen Pfeilen und die Beschriften oder du stellst eine Matrix auf. Und die drei sachen sind komplett equivalent. Wie du eine MC beschreibst ist nur definitionssache. Du kannst dir auch noch komplett andere Methoden einfallen lassen eine MC zu beschreiben.
Was ich damit sagen will: Eine Ueberg.Matrix is einfach EINE von vielen Moeglichkeiten eine MC zu beschreiben.
D.h. erstmal NEIN du brauchst keien Ueberg.Matrix um eine stat. Verteilung zu finden, allerding brauchst du natuerlich eine MC um ueberhaupt eine solche Aufgabe zu loesen... In welcher Form die beschrieben ist, ist erstmal egal. Du kannst ja immer eine Ueberg.Matrix davon ableiten und dann hast du sie...

 

[Franky90]

Hmm, ich danke dir für deine ausführliche Antwort, meine Frage hast du damit aber leider noch nicht beantwortet...
Ich fragte nicht, ob ich eine Übergangsmatrix brauche, sondern ob ich eine stochastische Matrix brauche, um eine stationäre Verteilung erhalten zu können.

Dazu auch noch eine andere Frage:

Gibt es einen Unterschied zwischen einer stationären und einer stabilen Verteilung?

Vielen Dank

 

[Aral]

Wie definierst du die zwei Matrizen? Was ist der Unterschied?

Was ist die def. von stabiler Verteilung?

 

[Franky90]

Wenn du das nicht weißt - sei mir nicht böse - wirst du mir nicht helfen können.

Ich habe doch geschrieben...stochastische Matrix=alle Spalten- ODER Zeilensummen=1

 

[Aral]

Das ist mir bewusst. Das Problem warum ich obiges gefragt habe ist: Eine Uebergangsmatrix ist eine stoch. matrix!

Und von dem Wort "stabiler Verteilung" im Zusammenhang mit MC hab ich noch nie was gehoert. Nicht im Englischen und nicht im Deutschen...

 

[Franky90]

Naja, auf unseren Aufgabenblättern steht manchmal stabile Verteilung und manchmal stationäre.

Übrigens ist eine stochastische Matrix KEINE Übergangsmatrix Es gibt ja auch Zyklische Prozesse á la "Ein Insekt legt 8 Eier". Damit wäre eine stochastische Matrix schonmal nicht mehr möglich. Aber meien Frage bezog sich ja auf Markow-Ketten. Ich bin mir ja 95%ig sicher, dass es so ist, wie ich sagte. Bei stationären und absorbierenden Verteilungen muss eine stochastische Matrix gegeben sein, aber naja...

Sry, aber du kannst mir wohl nicht helfen.

Aber danke für deine Bemühungen

 

[Aral]

Ach du Heini, ich geb auf. Du drehst ja die sachen um die ich geschrieben habe. Les doch nochmal. => ist nicht das gleiche wie <=...

Naja wie auch immer, viel Glueck noch mit dem Thema...