Vorab sollte geklärt werden was du überhaupt mit dem Prozessor machen willst.
Einfach nur irgendwas reinschreiben bringt hier nicht viel.
Werden nur Office oder ältere Spiele genutzt, würde ich eher einen i3 nehmen. Für neue Spiele und Video-/Bildbearbeitung würde ich die AMD-Variante vorziehen.
Du hast folgende Möglichkeiten:
1. Einen FX-6300 auf das vorhandene Board einsetzen. (Ein BIOS update ist wirklich nicht schwer.) Das wäre mit 100€ auch die billigste Option.
2. Ein gebrauchtes Sockel 1155 Board und einen passenden Sockel 1155 i5 kaufen (z.B. i5-2400 oder i5-3450.) Die i5er gehen für 60-70€ gebraucht über die Theke, ein passendes Board kostet etwa 50€. Hiermit hättest du mehr Leistung als mit dem FX-6300 aber eben das Risiko, da keine Garantie. (Wobei man sagen muss, dass nicht übertaktete CPU`s meist die Teile im Rechner sind, die am wenigsten kaputt gehen.)
3. Einen i3-4150 mit passendem Board kaufen. Preis: 110€ CPU + 50€ passendes Board. Vorteile: Neu mit Garantie, neuste Schnittstellen, spaarsam im Verbrauch. Zudem könntest du in ein paar Jahren günstig einen gebrauchten i7 oder Xeon nachrüsten, bei AMD kommt für den vorhandenen Sockel nichts mehr. Nachteile: Leistung je nachdem wieviele Kerne genutzt werden meist besser als FX-6300 aber schlechter als gebrauchter i5. Außerdem teurer als die anderen Optionen.
4. Wenn es dein Board unterstützt könntest du auch einen FX-8320E verbauen. Der liegt preislich bei 130€ und ist, je nachdem wieviele Kerne genutzt werden (Multicore besser der FX, Singlecore besser der i3) ähnlich gut wie der i3. Dazu müsstest du uns aber dein vorhandenes Board nennen, oder selbst in die CPU-Support Liste reinschauen.