Webdesign neben C++ machen

[1337hAx']

Ich verstehe immer noch nicht wie man in der Mathematik forscht. Macht man so 'ne Art Versuche oder was? In der diskreten Mathematik könnte ich mir sowas vorstellen, aber bspw. Algebra? Nimmt man sich n Zettel, schreibt was auf und grübelt dann 4 Stunden lang, oder wie?

 

[Nai]

Forschung läuft dort in etwa so ab: Die mathematische Wissensbasis besteht aus einer Vielzahl an bereits bewiesenen Aussagen. Ein "Forscher" versucht nun die bereits bewiesenen Aussagen meist durch spezielle Beweistechniken so zu kombinieren, um eine interessant zu sein scheinende Vermutung durch die bereits bewiesenen Aussagen zu beweisen. Schafft er das, so wird sie der Wissensbasis hinzugefügt, und dient in Zukunft dazu weitere Vermutungen zu beweisen. Die bereits vorhandenen bewiesenen Aussagen allerdings richtig zu kombinieren, um eine neue Aussage zu beweisen ist allerdings so komplex, dass diverse Forscher über eienen Beweis teils mehrere Jahre drüber sind.

 

[antred]

Ich bin 'ne mathematische Niete, aber ich glaube mal gehört zu haben, dass es in der Mathematik immer noch einige Theorien gibt, zu denen der Beweis noch aussteht.

 

[Krik]

Jepp, die gibt es. Diese Probleme sind aber oft schon Jahrhunderte alt und das nicht ohne Grund.
Mich persönlich würde interessieren, ob P = NP ist oder nicht. Keiner weiß es genau, aber man vermutet P != NP. Sollte man allerdings die Gleichheit beweisen können, hätte das weitreichende Konsequenzen - insbesondere für Informatiker.

 

[1337hAx']

Keine Versuche o. Ä.?
Bedient man sich nicht manchmal anderer Naturwissenschaften?
Ich meine, irgendwo gibt es doch auch Grenzen des eigenen Verstandes.

 

[Zweipunktnull]

Mich persönlich würde interessieren, ob P = NP ist oder nicht. Keiner weiß es genau, aber man vermutet P != NP. Sollte man allerdings die Gleichheit beweisen können, hätte das weitreichende Konsequenzen - insbesondere für Informatiker.

Solche Aussagen sind mir immer zu pauschal und klingen mir zu sehr nach Erstsemester-Wissen. Wie weitreichend die Konsequenzen tatsächlich wären, würde vom konkreten Resultat abhängen. Wäre es ein Existenzbeweis oder ein konstruktiver Beweis? Ein reiner Existenzbeweis hätte zunächst mal überhaupt keine unmittelbaren Konsequenzen. Ohne Frage, es wäre ein sehr überaschendes und interessantes Resultat, aber halt ohne unmittelbare Konsequenzen.

Selbst bei einem konstruktiven Beweis müsste man sich das Resultat genauer ansehen. Für viele NP-vollständige Probleme wären die Konsequenzen trotzdem wahrscheinlich eher gering. Als Erstsemester lernt man häufig so etwas wie: NP-vollständige Probleme = schwere Probleme. Hm, jein, die Realität ist schon etwas differenzierter. Insbesondere lassen sich die NP-vollständigen Probleme noch weiter nach ihrer Approximierbarkeit klassifizieren. Manche NP-vollständige Probleme lassen sich gut approximieren, andere eher weniger gut. Das gefühlt meist genannte NP-vollständige Problem ist wohl das Traveling-Salesman-Problem. Häufig hört man dann auch, dass die Lösung der P-NP-Frage große Auswirkungen auf das TSP hätte. Diese Aussage ist in der Form aber zumindest fragwürdig, da gerade das TSP zu den recht gut approximierbaren NP-vollständigen Problem gehört. Schon heute lässt sich das TSP schnell in guter Qualität lösen. Überhaupt werden in Wirtschaft und Technik tagtäglich NP-vollständige Probleme gelöst (wenn auch nicht exakt), einfach weil sie in der Praxis auftreten und gelöst werden müssen.

Aber selbst wenn man also einen konstruktiven Beweis hätte und sich ein eher schlecht approximierbares NP-vollständiges Problem wie z. B. Graph-Coloring ansieht, käme es trotzdem auf das konkrete Resultat an. Gibt es zwar einen Polynomialzeitalgorithmus für Graph-Coloring, der aber eine Laufzeit von n^1000 hat? Auch dann würden sich die Konsequnzen in Grenzen halten. So gibt es seit 2002 z. B. einen Polynomialzeitalgorithmus für den Primzahltest. Leider hat dieser eine Laufzeit von n^6 oder sowas (nagelt mich bitte nicht auf die genaue Laufzeit fest). In der Praxis verwendet man daher weiterhin in der Regel probablistische Primzahltests, einfach weil n^6 schon jenseits von Gut und Böse ist.

 

[Krik]

Erstsemesterwissen ist das nicht, es ist Masterwissen.

Ja klar, zeitlich gesehen hat die Lösung erst mal so gut wie keinen Einfluss. Später aber wird man dann versuchen, die Lösung auf gängige NP-Probleme anzuwenden. Könnte man das zB auf SAT anwenden, gäbe es eine kleine Revolution in der KI. Aber nicht nur dort, da man jedes NP-vollständige Problem auf SAT reduzieren kann.

Ich würde es jedenfalls begrüßen, wenn P = NP bewiesen wird. Sollte man das Gegenteil beweisen, würde sich kaum was ändern. :-/

 

[Zweipunktnull]

Ich würde es jedenfalls begrüßen, wenn P = NP bewiesen wird. Sollte man das Gegenteil beweisen, würde sich kaum was ändern.

Egal wie die P-NP-Frage beantwortet werden würde, es hätte in jedem Fall Vor- und Nachteile. Der Kryptographie wäre es lieber, wenn P-ungleich-NP gelten würde.

Erstsemesterwissen ist das nicht, es ist Masterwissen.

Na ja, das heißt ja noch nichts. Viele Masterabsolventen haben ein sehr begrenztes Wissen in theoretischer Informatik. Die Mehrheit ist häufig glücklich, wenn sie die Einführungsvorlesung überstanden hat und belegt im Masterstudium dann nur noch Softwaretechnik-, Informationssysteme- oder Data-Management-Vorlesungen. Und leben dann ihr ganzes Leben mit dem Irrtum, das Halteproblem wäre generell unlösbar. Trauriges Schicksal.

 

[daemon777]

Keine Versuche o. Ä.?
Bedient man sich nicht manchmal anderer Naturwissenschaften?
Ich meine, irgendwo gibt es doch auch Grenzen des eigenen Verstandes.

Versuche sind nicht geeignet, um etwas zu beweisen. Nach einer gewissen Anzahl an Versuchen gibt es nur eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese zutrifft. Beweisen lässt sich so aber letzendlich gar nichts.

Ein Beweis ist immer von der Form "ich weiß, dass A und B stimmt und daraus kann ich schließen, dass auch C stimmt". Es gibt also eine Menge von Aussagen, von denen ich weiß, dass sie korrekt sind (Axiome und bekannte, ableitbare Aussagen) und ich habe eine Aussage, deren Richtigkeit ich gerne beweisen möchte. Dann benötige ich einen Weg, um diese Aussag aus der Menge der bekannten, richtigen Aussagen herzuleiten.


Zum P-NP-Problem:
Bei einem konstruktiven Beweis, der mir aber dummerweise einen schlechten Exponenten, Faktoren liefert ist ja noch lange nicht gesagt, dass hiermit auch die untere Schranke gegeben ist. Allein die Erkenntnis, dass es einen polynomialzeit-Algorithmus gibt würde die Informatik-Welt in Aufregung versetzen und eine ganze Menge Anstrengungen unternommen werden, um eben in diesem Gebiet weiter zu forschen, einfach weil es hier plötzlich neue erstaunliche Erkenntnisse und die Hoffnung auf noch größere und noch erstaunlichere Erkenntnisse geben würde.
Siehe zB (wie hier schon angesprochen) den AKS-Primalitätstest. Das hat damals auch eine riesen Welle losgetreten und das P-NP-Problem hat ja doch noch größere Auswirkungen als der Primalitätstest.
Deshalb würde ich selbst einem nicht-konstruktiven Beweis vermuten, dass der Hype enorm groß wäre. Allerdings sollte jedem bewusst sein, dass P sehr wahrscheinlich nicht gleich NP ist.
Sehr spannend wäre es natürlich, wenn man einen polynomialzeit-Algo für einen der NP-Vollständigen Probleme finden würde. Aber wie man sich leicht vorstellen kann ist das mehr als nur unwahrscheinlich.

Weiterhin stimmt es schon, dass man sich heute mit Näherungen zufrieden gibt und somit trotz NP-Problem gute Ergebnisse zustande kommen, aber hätte man einen effizienteren Algorithmus, dann wäre es ziemlich leicht die Problemgröße zu erhöhen und man hätte plötzlich ganz neue Möglichkeiten.

Viel spannender als eine Lösung für das NP-P Problem fände ich aber eine Lösung für das Diskret-Log-Problem

 

[antred]

Keine Versuche o. Ä.?
Bedient man sich nicht manchmal anderer Naturwissenschaften?
Ich meine, irgendwo gibt es doch auch Grenzen des eigenen Verstandes.

Was willste denn da "versuchen"?? Einen Rechenschieber mit auf die ISS nehmen und prüfen, ob die Wurzel aus 9 auch unter Schwerelosigkeit immer noch 3 ist?

 

[1337hAx']

Wie stellt man den neue Axiome auf? Stammen nicht viele noch aus Zeiten von Pythagoras, Hippokrates und Euklid?

 

[Krik]

Wie man sie aufstellt? Na ganz einfach: Man stellt sich hin und sagt: "Das ist so. Beweisen kann man es nicht, aber ich bin mir zu 99% sicher, dass es so ist."
Die heute bekannten Axiome gehen nicht alle auf die alten Griechen zurück. ZB Newton hat sehr bekannte Axiome aufgestellt. Eines davon kennst du sogar: Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, ändert seine Position oder Translation nicht.

 

[1337hAx']

Gut, Newton bezog seine Erkenntnisse aber auch aus der Physik. Wie soll man denn in mathematischer Hinsicht etwas neues aufstellen, das auch anerkannt wird?

Hab heute mal zufällig das Bild hier entdeckt ^^

 

[Zweipunktnull]

Axiome sind per definitionem wahr. Demnach kannst du neue Axiome aufstellen, indem du einfach eine beliebige Aussage hernimmst und diese in deinem (formalen) System für wahr erklärst. Axiome verhalten sich dabei wie Definitionen: Grundsätzlich kannst du definieren was du willst. Aber obwohl grundsätzlich beliebige Definitionen aufgestellt werden können, gibt es fast immer gute Gründe, warum es plausibel ist, etwas so zu definieren, wie es eben definiert wurde und nicht anders.

Damit deine Ideen/Definitionen/Axiome Erfolg haben, sollte sich halt etwas Sinnvolles mit ihnen anstellen lassen - was immer auch sinnvoll heißen mag. Die Peano-Axiome (von 1889) finden z. B. Anwendung bei der formalen Verifikation von Software. Mit den Hilbert-Axiomen (von 1934) kann man einen besonders sparsamen aussagen- und prädikatenlogischen Kalkül bauen, der trotz seiner "Sparsamkeit" korrekt und vollständig ist.

 

[Krik]

Das wurde schon geschrieben. Such dir etwas und dann beweise es mit bereits bewiesenen Sätzen. Fertig. Das Kunststück ist nur, diese Beweiskette aufzustellen.
Und wenn herauskommt, dass etwas nicht so ist, wie man es zuerst gedacht hat, ist es auch gut. Auch ein negativer Beweis ist eine Erkenntnis.

 

[daemon777]

Wie soll man denn in mathematischer Hinsicht etwas neues aufstellen, das auch anerkannt wird?

Wie soll man denn einen Beweis anzweifeln, wenn er korrekt durchgeführt wurde? Sprich du hast eine neue Erkenntnis, beweist es und fertig.

Neue Axiome kannst du nur finden, wenn du ein eigenes Modell aufbaust und dann muss natürlich ersichtlich sein, wofür dieses Modell gut sein soll, damit es dann auch akzeptiert wird. Noch kurz damit die Axiome nicht so wirken, als wären sie aus der Luft gegriffen: man kann sich das so vorstellen, dass sie einfach ein Teil der Definition sind. Es sind also Aussagen, die allgemeingültig sind (es müssen keine Bedingungen erfüllt werden). Wenn ich zB die Menge aller Primzahlen betrachte, dann weiß ich, dass jede Zahl dieser Menge nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.
In der Standardarithmetik der natürlichen Zahlen ist ein Axiom beispielsweise, dass 1+0 = 1 ist (0 ist das neutrale Element bezüglich der Addition).

Es gibt also eine handvoll von Basisaussagen, die einfach durch die Definition gegeben sind und daraus folgen (fast) alle beweisbaren Aussagen und somit (fast) alles, was wir über dieses Modell wissen.

 

[1337hAx']

Könnte es eigentlich eine Funktionen geben, die sozusagen immer wieder Halbkreise aneinander reiht? Also Halbkreis auf, Halbkreis ab ... Wie eine Sinus-Kurve, nur mit richtigen Kreisen,wo sich keine 2 y-Werte überschneiden.

 

[Krik]

Sicher kann man so was konstruieren. Warum fragst du?

 

[1337hAx']

Hab darüber mal in den U-Bahn nachgedacht, und wusste nicht genau wie man sowas googlen soll bzw. konnte ich meinen Mathelehrer gerade auch nicht fragen

 

[Krik]

Die Frage ist eher, was dir diese Funktion bringt. Ich kann mir im Moment nichts vorstellen, wofür sie gut sein kann.

Du hast von Mathe das falsche Verständnis. Es geht nicht um Formeln, es geht um Zusammenhänge und Eigenschaften. zB wenn ich diesen oder jenen mathematischen Körper mit diesen und jenen Eigenschaften, was kann man damit anstellen? Was für Besonderheiten hat er? Bringt er überraschende Aspekte ans Licht? Kann man das auf andere Körper übertragen? usw. DAS ist Mathe.