Fiese Exponentialfunktion...

[ascer]

Hallo Leute,


heute galt es, mal wieder, zahlreiche Aufgaben zu lösen. Eine Funktion konnte ich leider jedoch nicht konstruieren.

Ich habe sie mal so in etwa skizziert:

Ich meine die Form der Funktion sollte
f(x) = a * e^( x + b ) + c
sein

Parameter a, b und c sollten halt berechnet werden.

Da bei x = 0 ja leider das b übrigbleibt (da es ja nicht x * b ist), kann man leider nicht bei x = 0 direkt auf c (absolutes Glied) schließen.

Der Schnittpunkt mit der Y-Achse ist natürlich ablesbar bei ( 0, 4 ) und die Nullstelle bei ( 5, 0 ).

Ich habe es mit einem Linearen Gleichungssystem mit meinem CAS-Rechner probiert, ebenfalls mit einer Regression per CAS-Rechner und per Hand mit Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren. Leider ohne Erfolg^^
Mindestens eine Variable habe ich nie elimiert bekommen und bin letztendlich dann immer auf a=a, oder b=b, oder c=c gekommen für die letzte..

Wahrscheinlich habe ich einfach etwas ganz banales bei dieser Art von Exponentialfunktion vergessen...falsche Wertepaare genommen oder so...auf jeden Fall habe ich gerade echt ein Brett vor dem Kopf - wer könnte da vielleicht weiterhelfen?

 

[Sherman123]

Entweder ein Polynom oder y=a*exp(b*x)

 

[Jurij]

Hey, du hast doch drei unbekannte und drei punkte, also auch drei gleichungen, da gibts dann das Gaußsche Eliminationsverfahren. Das sollte dir da eigentlich helfen.

 

[mainBort]

Ohne groß drüber nachzudenken würde ich mal probieren, drei Gleichungen mit der allgemeinen Gleichung und den 3 gegebenen Punkten aufzustellen.
3 Gleichungen und 3 Unbekannte => Gleichungssystem => auflösen => a b c bestimmen.
also
f(0)=4
f(3)=3,3
f(5)=0

@Jurij: Schön das wir uns einig sind

 

[Turas]

Ich komme auf einen Widerspruch wenn ich das Gleichungssystem löse (Punkt Wertepaare in die Wunschgleichung eingesetzt). Demnach scheint die vorgegebene Funktionsform falsch zu sein.

EDIT: Ich bin auch dafür, dass es ein Polynom ist.

 

[ascer]

In wie fern darf ich denn diese Antwort deuten?

Eine Polynomdivision zur Nullstellenberechnung?
Die Nullstelle kenne ich doch ( 5, 0 ).

f(x) = a * e^( x + b ) + c

e steht hierbei nicht für exponent/exp sondern für 2,71... also die Eulersche Zahl

Ohne groß drüber nachzudenken würde ich mal probieren, drei Gleichungen mit der allgemeinen Gleichung und den 3 gegebenen Punkten aufzustellen.
3 Gleichungen und 3 Unbekannte => Gleichungssystem => auflösen => a b c bestimmen.
also
f(0)=4
f(3)=3,3
f(5)=0

das war auch meine erste Idee^^

Ich komme auf einen Widerspruch wenn ich das Gleichungssystem löse (Punkt Wertepaare in die Wunschgleichung eingesetzt). Demnach scheint die vorgegebene Funktionsform falsch zu sein.

Aber wie auch Turas schreibt oder ich oben gesagt hab: Lineares Gleichungssystem mit CAS-Rechner, Regression mit CAS-Rechner und per Hand Versuche mit EInsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren schlugen leider fehl...


Da es eine Klausuraufgabe war, vermute ich, dass die Aufgabe wohl korrekt sein wird...leider war es die einzige, die ich nicht zu lösen vermochte^^

Andererseits wäre es natürlich nicht unmöglich, dass irgendwas an der Aufgabe Mumpitz ist^^



EDIT:
Was genau meint ihr mit eurer "Polynom"-Vermutung?

 

[Swordfish21]

Ist das (x+b) nicht der exponent von e?

Sowie du das geschrieben hast f(x) = a * e^( x + b ) + c verstehe ich das (x+b) als den exponenten?

 

[HariSeldon]

Entweder ich hab mich auf die Schnelle verrechnet oder da stimmt was mit den Werten nicht:

(I): 4 = a * e ^ ( 0 + b ) +c
(II): 0 = a * e ^ ( 5 + b ) +c
(III): 3 = a * e ^ ( 3 + b ) +c

führt nämlich zu keiner Lösung:

c = a * e ^ (b) - 4

daraus folgt dann weiter aus II a = 0 und am Ende steht dann die Ungleichung 7 = 0 da. Entweder ein Rechenfehler oder da stimmt was nicht. :-)

 

[Turas]

Polyom bedeutet, dass die Funktion nicht die Form a*e^(x+b)+c hat sondern die Form a*x^2+b*x+c.

 

[ascer]

ah ok^^

@Swordfish: ja, (x+b) ist der Exponent von e

 

[Jurij]

Also wenn jetz so viele Leute melden, das sie einen Fehler drinnen haben, dann sind die Werte vll falsch. Vll falsch abgeschrieben?

 

[ikervagyok]

Rechne mal dieses Gleichungssystem durch:

1., a*exp(b)+c=4
2., a*exp(b+3)+c=3
3., a*exp(b+5)+c=0

3., c=-a*exp(b+5)
3. in 2. eingesetzt:

2., a*exp(b+3)-a*exp(b+5)=3

umformen:
2., exp(b)=3/(a*(exp(3)-exp(5)))

2. in 1. einsetzten:

1., 3/(exp(3)-exp(5))+c=4

==> c=4-(3/(exp(3)-exp(5)))

... rückeinsetzen ...

Hoffe ich hab mich nicht verrechent, schaus mir vl später genauer an...

LG iker

 

[Swordfish21]

Dann kannst du doch eigentlich für a b und c beliebig werte einsetzen, da du ja das x aus dem exponenten von e sucht es heißt ja auch schließlich f(X).

 

[Turas]

Fuer die Funktion f(x)=a*e^(bx)+c gaebe es eine Loesung, und zwar
a~~-0.175627029744203239641
b~~0.6337314430979077169
c~~4.175627029744203239641

Und fuer die Form a*e^(b+x)+c gibt es keine Loesung, siehe hierzu WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=4=a*e^b+c,3=a*e^(3+b)+c,0=a*e^(5+b)+c

 

[schotty]

oh man leute!

Gaußverfahren ist ein Verfahren zum lösen eines linearen GLeichungssystems.....da hier eine e-Funktion steht fällt das Flach...

(I): 4 = a * e ^ ( 0 + b ) +c
(II): 0 = a * e ^ ( 5 + b ) +c
(III): 3 = a * e ^ ( 3 + b ) +c

Das sind die 3 richtigen Gleichungen. Und alleine aus der ersten folgt doch schon, dass 4 = a + c....nur so als Tipp ^^ möchte das noch jemand begründen

lg

 

[ascer]

@Jurij: ja, möglicherweise ist die Aufgabe einfach fehlerhaft oder ich hab's falsch abgeschrieben.

Da es aber wie gesagt eine Klausuraufgabe ist, ist die Chance, dass die Aufgabe fehlerhaft, denke ich zumindest, relativ gering.

Weiterhin bin ich mir schon recht sicher, dass ich sie korrekt hier dargestellt habe...hab schließlich einige Zeit dran gegrübelt^^

Fuer die Funktion f(x)=a*e^(bx)+c gaebe es eine Loesung, und zwar
a~~-0.175627029744203239641
b~~0.6337314430979077169
c~~4.175627029744203239641

Und fuer die Form a*e^(b+x)+c gibt es keine Loesung, siehe hierzu WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=4=a*e^b+c,3=a*e^(3+b)+c,0=a*e^(5+b)+c

Ja, (b*x) wäre natürlich einfach zu lösen - da bin ich mir allerdings 100%tig sicher, dass es b + x in der Aufgabe lautet.

 

[mainBort]

Als ich das durchgerechnet habe kam ich auch auf eine Ungleichung.

Ikervagyok's Lösung scheint mir aber gut auszusehen.

@schotty: 4=a*e^0*e^b+c=ae^b+c oder wie ist deine Logik b verschwinden zu lassen?

 

[Baal Netbeck]

also origin kommt auf:
a=-0,20779
c=4,20779
und da e^(x PLUS b) für mich keinen sinn macht
auf e^(-x/1,66215)
hilft vermutlich nicht viel;-)

 

[Turas]

Vielleicht lautet die richtige Antwort auch, dass es keine Loesung gibt

@schotty: Aus 4=a*e^(0+b)+c folgt ja auch 4=a+c ^^

 

[ascer]

Also ob nun LGS oder selber per Einsetzungs- ODER(^^) Gleichsetzungsverfahren:

Man kommt (wenn ich mich nicht verrechnet hab) letztenendes auf z.B.:

5.979906024577E+34 * 2.71828182845904^(b+3) - 2.218741858736E+36 * 2.718281828^b - 4.484929518432E+34 = 0

Und das bekommt man ja bedauerlicherweise nicht weiter aufgelöst...

Ähnlich sehen die Lösungen aus, wenn ich nach a oder c umforme.