Ein Inkassobüro erinnert Dich an das Begleichen einer Rechnung, die Dir bereits vorliegen sollte. Da das Mahnen über ein Inkasso-Büro nicht die erste Mahnstufe darstellt, wird dem Mahnschreiben eines Inkassobüros nur bei "Nettigkeit" eine Kopie Deiner Originalrechnung beiliegen. Ein Inkassobüro stellt Mahnungen an den Schuldner aus, keine Rechnungen.
Die Rechnung des Beitragsservice wird übrigens auch Zahlungsaufforderung genannt und sieht so aus:
http://www.rundfunkbeitrag.de/service/musterbrief/
Ob man eine Rechnung mit allen Pflichtangaben nach dem UStG anfordern kann? Vielleicht, aber was bringt's? Das erhöht doch maximal die Verwaltungskosten, was dem Beitragsservice im nächsten Jahresbericht dann wahrscheinlich wieder vorgeworfen wird. Tolle Nummer!