Naja, du hast 3 Gleichungen.
Zylindervolumen (r²*pi*h), Mantelfläche [ohne Deckel und Boden] (2*pi*r*h), Kreisfläche (r²*pi).
Ich betrachte jetzt einfach mal die Aufgabe mit Deckel, andere geht analog.
Nehmen wir also an, es sei das Volumen konstant.
=> V=r²*pi*h => h = V/(pi*r²)
Nun betrachten wir die Oberfläche (Mantel + 2*Kreis)
O=2*pi*r*h + 2*r²*pi
und setze das h ein, das man aus V hat.
O hängt jetzt also nicht mehr von h sondern nur noch von r ab.
Gut, man hat jetzt also ne Funktion O(r), von der wir das Min, ausrechnen sollen.
Also Ableiten und Nullstellen suchen. (Wichtig, überprüfen, ob dies dann auch ein Minimum ist.)
Nun hat man sein h, jetzt braucht man nur noch r, und das kriegen wir aus dem Volumen, indem man dort einfach die Gleichung für h einsetzt.
Jetzt hat man Gleichungen für r und h, und da ja bekanntlich r=d/2 ist kann man nun d:h bestimmen.
Wichtig, man kann V auch nach r umstellen, hat aber dann den Nachteil, das man mit r=sqrt(..) rechnen muss, was unschön ist. So reduziert man die Arbeit mit den Wurzeln aufs Minimum.
Die Aufgabe mit dem Volumen maximieren geht analog.
Bei solchen Aufgaben ist es immer hilfreich, sich zuerstmal alle Formeln rauszusuchen und zu schaun, was man davon gebrauchen kann.
Hoffe ich konnte euch helfen, und ich hoffe noch mehr, das da jetzt nicht irgendwo der Wurm drin ist. (Habs nicht nachgerechnet, sondern nur schnell die Formeln rausgesucht und mir überlegt, was die sinnvollste Rechnung ist.)
Habe eben noch was gefunden was euch eine Hilfe bei Extremwertaufgaben sein sollte:
uni-protokolle schrieb:
Bei der Extremwertproblematik gibt es zwei ganz wesentliche Punkte für den Ansatz. Ersteinmal macht euch mit dem Problem vertraut.
Was wird tatsächlich gesucht? Für jede Aufgabe gibt es eine allgemein gültige Formel. Ab und an muss eine weitere Formel integriert werden. Dabei ist Grundkenntnis sämtlicher Geometrieformelei (Dreieck, Viereck usw.) elementar wichtig. Dieses Erkennen bringt euch die Hauptfunktion. Beispiel: Ihr sollt ein möglichst großes Viereck vom Flächeninhalt in ein Dreieck setzen. Hauptfunktion A=a*b. Klingt banal, aber so ist die Mathematik eben. a und b sind nun so zu ersetzen, dass eine ableitbare Formel entsteht, die nur eine Variable enthält. Das zum zweiten wichtig Punkt führt.
Wie kann ich die gegebenen Variablen ersetzen?
Hierzu benötigt ihr Nebenbedingungen. Also kann man alles was die Mathematik hergibt (Phytagoras, Winkelfunktionen usw.) aufnehmen. Und hier besteht die eigentliche Aufgabe. Sinnvolle Ergänzungen finden, die unsere Hauptfunktion zu einer Extremwertformel macht.
Danach kann man einfach ableiten und wie hoffentlich die meisten wissen einen Extremwert berechnen (f`(x)=0 und f``(x)größer oder kleiner 0). Dabei fällt eine Lösung grundsätzlich raus. (Anfangsproblem)
Quelle:
http:://www.uni-protokolle.de/...
greetz
-Fr34k-
