Dein System besteht aus mehreren Komponenten und dort verhält es sich wie über all auch:
eine Gruppe / ein System ist nur so stark wie ihr schwächstes Glied.
Sprich auch wenn die neue Grafikkarte x mal mehr Leistung bringt wie die alte, deine CPU bremst das ganze aus (die 3GB RAM, was recht wenig ist, wurden daher auch schon erwähnt).
Die neue Grafikkarte wird hier und da einen kleinen Vorteil bringen, aber noch lange nicht ihre volle Leistung entfalten weil die CPU wie gesagt einfach zu langsam ist und da nicht mithält.
Somit ist ein Grafikkartenkauf für sich allein nicht rentabel und wird nicht den gewünschten Effekt haben.
Eine Möglichkeit günstig das System weiter zu nutzen habe ich z.B. auf Seite 1 gepostet, um es noch günstiger zu halten wäre es so auch noch möglich:
E8400@EBay
Sapphire Radeon HD 6770, 1GB
Cougar A350 350W
Kommt man auf ~ 192€ (mit der besseren Variante auf Seite 1 waren es ~ 275€).
Dann nutzt du deinen jetzigen CPU-Kühler weiter, übertaktest nicht und nimmst die 6770 statt der 6870 (was den gewollten FullHD-Plänen aber nicht zu gute kommt, sollte ja klar sein).
Ansonsten ist wie eben schon gesagt eine komplette Neuanschaffung hier angebracht. Denn auch alles was man hier weiter einspart, kommt man wieder näher an die Leistung die sowieso schon vorhanden ist...
PS:
Die 6xxx Reihe von ATI ist deren aktuellste Generation und gegenüber dem Vorgänger der 5xxx Reihe etwas sparsamer + leistungsstärker (bei gleichem Modellnamen).