Python Stochastik (künstliche Intelligenz)

[Mr.Blade]

Guten morgen allerseits,

sind hier auch gute Informatiker, die sich ein wenig mit Python auskennen? Ich benötige Hilfe bei der Umsetzung von Wahrscheinlichkeitsberechnung in Python. Dazu soll ein Spiel programmiert werden.

Gut, wie funktioniert das?

Es gibt einen menschlichen Spieler und einen Computergegner, den wir selber programmieren sollen. Per Zufall (Random) werden pro Zug zwei Würfel gewürfelt. Zeigt einer der beiden Würfel sechs Augen, ist der Zug beendet. Zeigt keiner der beiden Würfeln sechs Augen, darf der Spieler entscheiden, ob er das Risiko eingehen will und erneut würfelt, oder ob er die insgesamt gewürfelten Punkte in diesem Zug dem Konto gutschreiben will. Der Zug dauert also solange an, wie der Spieler würfelt; zeigt ein Würfel sechs Augen, gilt der Zug als "gescheitert" und alle bisher gewürfelten Punkte in diesem Zug gehen verloren. Das Spiel an sich funktioniert tadellos, fehlt nur noch der letzte, äußerst wichtige Schritt: Dies alles in eine halbwegs intelligente, künstliche Intelligenz packen. Effektiv stellt sich die CPU letztendlich nur die Frage: "Soll ich noch etwas riskieren, oder diesen Zug beenden?". Dafür sind Faktoren wie der derzeitige Punktestand des Kontos vom Computer, der Punktestand während des Zuges und der Kontostand des menschlichen Spielers mitunter von Bedeutung. Als mit bestmögliche Option hat uns unser Informatiklehrer Stochastik empfohlen. "Die Wahrscheinlichkeit beim Wurf einer Münze ist zwar immer gleich, wenn allerdings drei mal hintereinander Kopf geworfen wurde, liegt es näher, dass beim nächsten Wurf die Zahl oben liegt".

Letztendlich bräuchte ich also unbedingt Hilfe bei dieser künstlichen Intelligenz. Kennt Ihr noch einfachere Methoden neben der Stochastik, die sich dafür aber genauo gut eignen würden?

Danke für Eure Hilfe oder nur kleine Denkanstöße.

Gruß

 

[NullPointer]

Als mit bestmögliche Option hat uns unser Informatiklehrer Stochastik empfohlen. "Die Wahrscheinlichkeit beim Wurf einer Münze ist zwar immer gleich, wenn allerdings drei mal hintereinander Kopf geworfen wurde, liegt es näher, dass beim nächsten Wurf die Zahl oben liegt".

Ähm, da widerspricht er sich doch: Gerade weil die Wahrscheinlichkeit immer die gleiche ist, liegt es eben nicht näher, nach drei Köpfen eher eine Zahl zu erwarten.

 

[Hancock]

Ich weis net, was ihr fürn Infoleher habt, aber statistisch ist es genau gleich wahrscheinlich, dass wieder Kopf kommt, wenn du drei mal hintereinander Kopf geworfen hast.

Es gibt aus meiner Sicht nur eine Variabel, die relevant ist: Die Punkte im aktuellen Zug.
In 25/36, also in ~ 70 % der Fälle geht es gut.
Die durchschnittliche Erwartung pro Zug liegt knapp unter 7 Punkten.

Jetzt kannste dir ein Baum überlegen und wie du da die maximale Puktzahl rausholst, ich schätze so bei 10Punkte als Abbruchbedingung fährste net schlecht.

 

[Mr.Blade]

Danke.

Ähm, da widerspricht er sich doch: Gerade weil die Wahrscheinlichkeit immer die gleiche ist, liegt es eben nicht näher, nach drei Köpfen eher eine Zahl zu erwarten.

Also ich bin mir ganz sicher, dass unser Informatiklehrer das genauso gesagt hatte. Steht auch so auf meinem Schmierzettel. Aber scheinbar ist dann seine Theorie Murks.

In 25/36, also in ~ 70 % der Fälle geht es gut.
Die durchschnittliche Erwartung pro Zug liegt knapp unter 7 Punkten.

Jetzt kannste dir ein Baum überlegen und wie du da die maximale Puktzahl rausholst, ich schätze so bei 10Punkte als Abbruchbedingung fährste net schlecht.

Okay, Danke. Gibt es neben diesem und meinen genannten Faktoren noch irgendetwas wichtiges, was man beachten sollte?

Gruß

 

[Daaron]

Also ich bin mir ganz sicher, dass unser Informatiklehrer das genauso gesagt hatte. Steht auch so auf meinem Schmierzettel. Aber scheinbar ist dann seine Theorie Murks.

Der Lehrer hat Murks erzählt. Die einzelnen Würfe (egal ob Münze, Würfel,...) sind voneinander unabhängige Ereignisse. Bei einem Würfel (W6) hast du bei jedem Wurf eine Chance von 1/6 auf eine bestimmte Zahl. Es gibt so eine hübsche Fangfrage, mit der man Nachwuchs-Mathematiker immer gern ärgert: Wie hoch ist die Chance auf einen Pash?

Im Endeffekt entscheiden weder Spieler noch KI, ob er jetzt einmal zu oft würfeln würde, sondern ob er mit seinen bestehenden Punkten gewinnt oder nicht, sprich: ob er inzwischen schon einen entsprechend großen Vorsprung hat. Wenn ich eh zu wenig Punkte habe, um zu gewinnen, kann ich auch alles riskieren. Wenn ich in Führung liege (oder es glaube), dann spiele ich vorsichtiger. Von der reinen Stochastik her sollte man immer weiter spielen, weil 5 von 6 Wüfel-Ergebnissen für mich günstig sind.

 

[antred]

Ähm, da widerspricht er sich doch: Gerade weil die Wahrscheinlichkeit immer die gleiche ist, liegt es eben nicht näher, nach drei Köpfen eher eine Zahl zu erwarten.

Seit ihr euch da sicher? Ich stand mit der Stochastik schon immer auf Kriegsfuß, aber ich glaube, die Rationalisierung für die vom OP geäußerte Erwartungshaltung wäre in etwa:

Zwar stimmt es, daß die einzelnen Wurfergebnisse voneinander unabhängig sind, aber eben weil die Wahrscheinlichkeit bei jedem Wurf die gleiche ist, würde man in einer Serie von Würfen relativ ausgewogene Ergebnisse erwarten. In einer Serie von 3 Würfen 3 mal Kopf zu bekommen, stellt sozusagen einen krassen Ausreisser dar, weshalb die tendenzielle Erwartung wäre, daß weitere Würfe dieses anormale Ergebnis wieder ausgleichen würden.

Wie gesagt, Stochastik war noch nie mein Bier ... bitte nicht erschießen, falls ich Mist erzählt habe.

 

[r0b0t]

Peng!

 

[mercsen]

vlt. muss man hier nur mal zwischen wahrscheinlichkeit und erwartung unterscheiden?
Mathematisch gesehen haben die beide ereignisse die selbe wahrscheinlichkeit, nämlich 1/2. Erwarten tun 90% der Menschen aber eine erhöhte Wahrscheinlichkeit das beim 4. Wurf eine Zahl erscheint, einfach damit die Wahrscheinlichkeiten sich wieder annähren. Ist ganz Menschlich, aber nicht mathematisch. (Siehe roulette, dort gibt es die methode solange auf rot oder schwarz zu setzen und den einsatz jedesmal zu verdoppeln bis man gewinnt, kommt 5 mal in folge schwarz setzen fast alle auf rot, auch wenn es mathematisch keinen Grund dafür gibt)

Naja zu deinem Problem:

Ganz so gut bin ich in Stochastik. Vlt. wäre die Heuristik für dich ja auch Interessant.

Ansonsten würde ich statt einer "KI" evtl. ein wenig "anspruchsloser" ran
Man überlegt sich ein paar allgemein anwendbare Regeln, für allgemeine Situationen die dann immer angewendet werde. Man muss die dann natürlich mit ein wenig Variation versehen damit der Computre nicht zu vorhersehbar agiert. Im BlackJack gibt es ja auch ein "Standart Taktik", wenn alle Spieler am Tisch danach spielen kann die Bank fast unmöglich Gewinnen, ich denke soetwas in der Art könnte dir auch helfen.

Man könnte z.b. sagen: Wenn ich mehr als 10 Punkte zurückliege spiele ich aggressiv und riskiere liber einen wurf mehr. Liege ich mehr als 10 Punkte vorne (der maximale betrag den mein gegner bei einem Wurf ereichen kann) spiele ich auf sicher und würfle einmal weniger.
Das sind jetzt nur 2 ganz simple beispiele die vermutlich stets zur Niederlage des PC's führen aber so in der Art. Besserw wäre es natürlich statt mit festen Zahlen mit relativen angaben zu arbeiten.

 

[ice-breaker]

Man könnte z.b. sagen: Wenn ich mehr als 10 Punkte zurückliege spiele ich aggressiv und riskiere liber einen wurf mehr. Liege ich mehr als 10 Punkte vorne (der maximale betrag den mein gegner bei einem Wurf ereichen kann) spiele ich auf sicher und würfle einmal weniger.
Das sind jetzt nur 2 ganz simple beispiele die vermutlich stets zur Niederlage des PC's führen aber so in der Art. Besserw wäre es natürlich statt mit festen Zahlen mit relativen angaben zu arbeiten.

jup, ein Regelset mit Zügen und etwas Fuzzylogik, so dass nicht immer die gleiche Entscheidung getroffen wird, und schon hat man eine einfache KI, die so klug ist, wie die Regeln etwas taugen.
Gerne für die Fuzzylogik auch 3-4 Regeln für den ungefähr gleichen Fall (bzw. den Fall ungenauer spezifizieren) mit Wahrscheinlichkeiten definieren und dann immer eine der Regel wählen, die KI folgt dann von außen betrachtet keinen hart definierten Regeln (womit sie sich immer absolut identisch verhält) kann aber trotzdem je nach den definierten Regeln sehr intelligent sein - es kommt nachher nur auf die Regeln an.

 

[convexus]

Ein wesentlicher Aspekt ist imo das Risiko beim erneuten Würfeln die bereits erworbenen Punkte zu verspielen. Ein Ansatz wäre es die Strategie zu parametrisieren. Z.B. in Abhängigkeit der bereits erworbenen Punkte und der Spielstände die Wahrscheinlichkeiten für das erneuten Würfeln vorzugeben. In erster Näherung würden die im Zug erworbenen Punkte ausreichen. Um an 'passende' Wahrscheinlichkeiten zu kommen, könntet man die Stochastik bemühen oder man macht es sich leichter und ermittelt diese per Simulation ( Rechner spielt gegen Rechner, Genetische Algorithmen). Ein geratene Schätzung (Heuristik: je mehr Punkte desto geringer die Wahrscheinlichkeit für das erneuten Würfeln) könnte etwa so aussehen

Pkte Wahrscheinlichkeit
1 0.9999
2 0.95
3 0.9
4 0.85
5 0.8
6 0.75
..

 

[Darlis]

Peng!

Ich stelle mich auch mal in die Reihe zu antred
Das Detail liegt in der Aufgabenstellung:
1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf eine 6 zu erhalten?
Die Antwort dürfte keinen Verwundern: 1/6

2) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei zwei würfen mindestens eine 6 zu erhalten?
Ich habe dafür jetzt keine Formel zur Hand (ich hab' das Thema auch nie gemocht) aber das Ergebnis wird definitiv nicht 1/6 sein!
Man stelle sich vor, man würfle 6 mal. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu würfeln, extrem hoch. Und darum geht es ja in der Aufgabenstellung.

 

[Grantig]

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei zwei würfen mindestens eine 6 zu erhalten?
Ich habe dafür jetzt keine Formel zur Hand (ich hab' das Thema auch nie gemocht) aber das Ergebnis wird definitiv nicht 1/6 sein!

Ich würde sagen du hast recht.

Ich würde das so berechnen (falls das Humbug ist, bitte berichtigt mich):

Die Chance bei 1 Wurf keine 6 zu Würfeln ist 5/6.
Die Chance bei 2 Würfen keine 6 zu würfeln ist (5/6)^2.
...
Die Chance bei k Würfen keine 6 zu würfeln ist (5/6)^k.

=> Die Chance bei k Würfen mindestens eine 6 zu würfeln ist 1 - (5/6)^k

 

[convexus]

Zitat:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei zwei würfen mindestens eine 6 zu erhalten?
Ich habe dafür jetzt keine Formel zur Hand (ich hab' das Thema auch nie gemocht) aber das Ergebnis wird definitiv nicht 1/6 sein!
Ich würde sagen du hast recht.

Ich würde das so berechnen (falls das Humbug ist, bitte berichtigt mich):

Die Chance bei 1 Wurf keine 6 zu Würfeln ist 5/6.
Die Chance bei 2 Würfen keine 6 zu würfeln ist (5/6)^2.
...
Die Chance bei k Würfen keine 6 zu würfeln ist (5/6)^k.

=> Die Chance bei k Würfen mindestens eine 6 zu würfeln ist 1 - (5/6)^k

Die Mathematik ist soweit okay, allerdings war die Frage eine Andere! Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit beim n-ten Wurf eine 6 zu würfeln unter der Voraussetzung das in der ersten (n-1) Würfen keine 6 gewürfelt wurde. Wie bereits geschrieben sind diese Ereignisse unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit ist daher immer 1/6.

 

[Daaron]

Ich würde sagen du hast recht.

Ich würde das so berechnen (falls das Humbug ist, bitte berichtigt mich):

Die Chance bei 1 Wurf keine 6 zu Würfeln ist 5/6.
Die Chance bei 2 Würfen keine 6 zu würfeln ist (5/6)^2.
...
Die Chance bei k Würfen keine 6 zu würfeln ist (5/6)^k.

=> Die Chance bei k Würfen mindestens eine 6 zu würfeln ist 1 - (5/6)^k

Klingt halbwegs richtig, spielt aber beim hier betrachteten Problem halt keine Rolle. Du entscheidest ja nicht anhand der Menge an Würfen sondern pro Wurf. Dir ist egal, was bisher kam (bisher kam so oder so keine 6, davon abgesehen), relevant sind nur deine Chance beim nächsten Mal mit ner 6 zu scheitern und ob es das Risiko wert ist.
So wie du an die Sache herangehst müsste sich deine Chance auf einen Lottogewinn jedes mal steigern, wenn du in der vorigen Ziehung wieder mal falsch lagst. Dass dem nicht so ist liegt deutlich auf der Hand.

Natürlich wirds irgend wann mal Zeit, dass ne 6 kommt, aber das ist nur eine Frage der betrachteten Menge an Stichproben. Hier spuckt einem die Binomialverteilung gern nochmal in die schöne statische Betrachtung: Bei einem binären Ereignis (6 oder nicht 6) mit unterschiedlichen Gewichtungen ist die Chance, den Erwartungswert zu übertreffen (hier: mehr Nicht-6 als erwartet) höher als die Chance, ihn zu unterbieten, solange die Menge der Stichproben nur hinreichend klein ist (sprich: bei ner Millionen Proben nähert sich Erwartungswert und reales Ergebnis schon sehr stark an. bei 100 driftets gut auseinander)

 

[Grantig]

Danke für die Berichtigungen, ich hatte da bei meinem Post die eigentliche Aufgabenstellung komplett aus den Augen verloren.
Aber zumindest hab ich richtig gerechnet

Dass die Würfe voneinander unabhängig sind ist natürlich völlig klar.


Zur Lösung des Problems:
Ich würde das (wie schon vorgeschlagen), über eine Abbruchwahrscheinlichkeit machen, die von den eigenen Punkten, von den Gegnerischen Punkten und der Augenzahl die man wieder verlieren könnte abhängt.
Um die optimalen Parameter zu finden bietet sich ne Simulation an (wie schon von convexus vorgeschlagen).
Ich denke man könnte die Simulation bzw. das finden der optimalen Strategie sehr schön rekursiv lösen.

 

[Darlis]

Klingt halbwegs richtig, spielt aber beim hier betrachteten Problem halt keine Rolle. Du entscheidest ja nicht anhand der Menge an Würfen sondern pro Wurf. Dir ist egal, was bisher kam (bisher kam so oder so keine 6, davon abgesehen), relevant sind nur deine Chance beim nächsten Mal mit ner 6 zu scheitern und ob es das Risiko wert ist.

Natürlich kann man nur den nächsten Wurf betrachten, was aber sehr dumm wäre. Demnach wäre die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf keine 6 zu bekommen genau so hoch, wie bei 100 Würfen keine 6 zu bekommen.

Ich habe mal ein kleines Programm geschrieben, dass zählt wie oft hintereinander man keine 6 Würfeln kann:

    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int[] array = new int[100];
            int timesNoSixCounter = 0;
            int timesSixCounter = 0;
            Random random = new Random();
            for (int i = 0; i < 10000000; i++)
            {
                int rand = random.Next(6) + 1;
                if (rand == 6)
                {
                    array[timesNoSixCounter]++;
                    timesNoSixCounter = 0;
                    timesSixCounter++;
                }
                else
                {
                    timesNoSixCounter++;
                }
            }

            for (int i = 0; i < 100; i++)
                Console.WriteLine("{0}: {1}  {2}%", i, array[i], (double)array[i] / (double)timesSixCounter * 100.0);
            Console.Read();
        }
    }

Mit folgender Ausgabe:

Spoiler

0: 277612 16,6570364836932%
1: 231429 13,8860038340728%
2: 193005 11,5805200298806%
3: 160817 9,64920333486336%
4: 133751 8,0252124790371%
5: 111315 6,67902690151113%
6: 93153 5,58928619643773%
7: 77627 4,65770849646143%
8: 64596 3,87583364083918%
9: 54124 3,24750170253235%
10: 44864 2,69189114593177%
11: 37570 2,25424283061378%
12: 31349 1,88097573853903%
13: 25919 1,55516954822142%
14: 21538 1,29230455378652%
15: 18050 1,08302057739097%
16: 15084 0,905057196086726%
17: 12432 0,745934172749282%
18: 10447 0,626831909806286%
19: 8632 0,517929840666973%
20: 7178 0,430688183075478%
21: 5961 0,357666795669118%
22: 5087 0,305225799290187%
23: 4206 0,252364794931104%
24: 3401 0,204063877213667%
25: 2923 0,175383332283313%
26: 2424 0,145442763412505%
27: 1992 0,119522270923148%
28: 1698 0,101881935756779%
29: 1438 0,0862816393511477%
30: 1126 0,0675612836643896%
31: 985 0,0591011229213355%
32: 805 0,0483009177174366%
33: 672 0,0403207660945558%
34: 590 0,0354006726127796%
35: 527 0,031620600791415%
36: 397 0,0238204525885992%
37: 304 0,0182403465665848%
38: 257 0,0154202929855667%
39: 226 0,0135602576448953%
40: 182 0,0109202074839422%
41: 155 0,00930017670335736%
42: 130 0,00780014820281585%
43: 108 0,00648012312233932%
44: 81 0,00486009234175449%
45: 75 0,00450008550162453%
46: 74 0,00444008436160287%
47: 59 0,00354006726127796%
48: 46 0,00276005244099638%
49: 52 0,00312005928112634%
50: 17 0,00102001938036823%
51: 19 0,00114002166041155%
52: 24 0,00144002736051985%
53: 20 0,00120002280043321%
54: 6 0,000360006840129963%
55: 14 0,000840015960303246%
56: 19 0,00114002166041155%
57: 5 0,000300005700108302%
58: 8 0,000480009120173283%
59: 3 0,000180003420064981%
60: 5 0,000300005700108302%
61: 4 0,000240004560086642%
62: 3 0,000180003420064981%
63: 2 0,000120002280043321%
64: 1 6,00011400216604E-05%
65: 2 0,000120002280043321%
66: 1 6,00011400216604E-05%
67: 0 0%
68: 1 6,00011400216604E-05%
69: 1 6,00011400216604E-05%
70: 1 6,00011400216604E-05%
71: 0 0%
72: 0 0%
73: 3 0,000180003420064981%
74: 1 6,00011400216604E-05%
75: 0 0%
76: 0 0%
77: 0 0%
78: 1 6,00011400216604E-05%
79: 0 0%
80: 0 0%
81: 0 0%
82: 0 0%
83: 0 0%
84: 0 0%
85: 0 0%
86: 0 0%
87: 0 0%
88: 0 0%
89: 0 0%
90: 1 6,00011400216604E-05%
91: 0 0%
92: 0 0%
93: 0 0%
94: 0 0%
95: 0 0%
96: 0 0%
97: 0 0%
98: 0 0%
99: 0 0%

Man sieht deutlich, dass die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf eine 6 zu bekommen, bei 1/6 liegt. Die Wahrscheinlichkeit, erst beim x-ten Wurf eine 6 zu bekommen, sinkt dagegen mit jedem Wurf.

Betrachtet man also eine Folge von Würfen sinkt (bzw. steigt, je nachdem) die Wahrscheinlichkeit tatsächlich. Das ist auch der Grund warum Roulette Spieler auf schwarz setzen, nachdem 5 mal rot gekommen ist: Die Wahrscheinlichkeit für 6 mal rot in Folge ist sehr gering.

 

[mercsen]

Rein rechnerisch gesehen mag das ja alles sein aber du hast selber gesagt das man jedem wurf, oder aber um beim roulette zu bleiben, jede runde für sich betrachten muss. Man kann es sich hinrechnen das eine folge von 5 mal rot hintereinander unwahrscheinlich ist. die folge RSRSS (R= Rot, S = schwarz) ist aber genau so unwahrscheinlich, denn ansonsten müsste es im Univerum einen globalen Wahrscheinlichkeits zähler geben der mitkriegt wenn eine Folge mal aus der reihe tazt und korrigierend eingreifen. Jedes Ereigniss hat hier ja die selbe wahrscheinlichkeit. Bei einem gezinktem Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln erhöt ist, kann man rechnen.

Ansonsten erzeugt jede andere Zahl in deinem Programm eine ähnliche ausgabe. Zumal diese art des Zufallsgenerators zu einem gewissen Teil determiniert ist. Man müsste erstmal sicher stellen das er alle zahlen gleichhäufig erzeugt.

 

[Darlis]

Rein rechnerisch gesehen mag das ja alles sein aber du hast selber gesagt das man jedem wurf, oder aber um beim roulette zu bleiben, jede runde für sich betrachten muss.

Wo habe ich das gesagt? Ich habe gesagt man kann eine Runde/Wurf für sich betrachten.

Man kann es sich hinrechnen das eine folge von 5 mal rot hintereinander unwahrscheinlich ist. die folge RSRSS (R= Rot, S = schwarz) ist aber genau so unwahrscheinlich,

Jo, da hast du auch wieder recht. Ein Roulette mit 50/50 Chance eignet sich nicht so gut für das Beispiel, bei einem Würfel schon eher.

Ansonsten erzeugt jede andere Zahl in deinem Programm eine ähnliche ausgabe. Zumal diese art des Zufallsgenerators zu einem gewissen Teil determiniert ist. Man müsste erstmal sicher stellen das er alle zahlen gleichhäufig erzeugt.

Klar bekomme ich bei jeder anderen Zahl weitestgehend identische Werte. Dass alle Zahlen in etwa gleich oft erzeugt werden habe ich auch getestet. Die 6 ist ja nur für uns so besonders wegen der Aufgabestellung.

 

[Daaron]

Man sieht deutlich, dass die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf eine 6 zu bekommen, bei 1/6 liegt. Die Wahrscheinlichkeit, erst beim x-ten Wurf eine 6 zu bekommen, sinkt dagegen mit jedem Wurf.

Und? Das ist doch ebenfalls offensichtlich, ändert aber nichts an der Tatsache.... und Tatsache ist: Es gibt keinen universellen Beobachter, der Ausreißer aus der Statistik korrigiert.
1-1-1 hat dieselbe Wahrscheinlichkeit wie 1-2-3, 1-2-6, 6-6-6, 6-3-5, 2-4-2...

Dir ist als Spieler egal, was bisher war, dich interessiert nur die nähere Zukunft, und die sagt: 1/6, dass du raus fliegst, 5/6, dass du gewinnst.

Übrigens: Wenn du das Ganze mal als Reihe betrachtest, noch dazu mit endlicher und relativ kleiner Anzahl Stichproben, verschieben sich die Chancen RICHTIG irre, ein Hoch auf die Binomialverteilung.

Jo, da hast du auch wieder recht. Ein Roulette mit 50/50 Chance eignet sich nicht so gut für das Beispiel, bei einem Würfel schon eher.

Nö, das Prinzip ist dasselbe. Wie schon gesagt, RSRRS ist genau so wahrscheinlich wie SRSSR oder SSSSS. Genauso wie es bei den Würfeln keine Gewichtung gibt zwischen den einzelnen Folgen. Du kannst bei Mensch Ärgere Dich Nicht genau so wahrscheinlich nie mit einer 6 aus deiner Startaufstellung raus kommen, wie du genau so mit einer endlosen Folge von 6en einen Durchmarsch starten kannst.

 

[r0b0t]

Man muss in der Mathematik, ebenso wie in der Informatik, immer sehr auf die Formulierung achten. Bei Letzterer kann ein falsch gesetztes Komma oder Semikolon ein komplettes Programm scheitern lassen, bei Ersterer eine unbedachte Aussage schnell fehlerhaft sein.

Du kannst bei Mensch Ärgere Dich Nicht genau so wahrscheinlich nie mit einer 6 aus deiner Startaufstellung raus kommen, wie du genau so mit einer endlosen Folge von 6en einen Durchmarsch starten kannst.

Die oben genannten Wahrscheinlichkeiten wären nur dann gleich, wenn 6 werfen und nicht 6 Werfen beide 50% Wahrscheinlichkeiten hätten. Bei einem zweiseitigen Würfel (Münze) wäre das so. Hier ist aber die Wahrscheinlichkeit in der Startaufstellung hängen zu bleiben höher als einen Durchmarsch zu schaffen.

Betrachtet man also eine Folge von Würfen sinkt (bzw. steigt, je nachdem) die Wahrscheinlichkeit tatsächlich. Das ist auch der Grund warum Roulette Spieler auf schwarz setzen, nachdem 5 mal rot gekommen ist: Die Wahrscheinlichkeit für 6 mal rot in Folge ist sehr gering.

Man kann auch aus richtigen Aussagen falsche Schlüsse ziehen. Was immer gerne vergessen wird, ist der Zeitpunkt zu dem man eine Entscheidung zu treffen hat. Dieser ist aber sehr wichtig, da mit dem Zeitpunkt der Entscheidung das zugrunde liegende Zufallsexperiment geändert wird. Wenn ich eine Folge von unabhängigen Ereignissen betrachte, so mache ich im allgemeinen eine Aussage für einen zukünftigen Zeitpunkt. Beim Würfeln für sechsmal 6 hintereinander ist die Wahrscheinlichkeit (1/6)^6. Beim Roulette sechsmal rot (1/2)^6 = 1,5625 %, dabei lassen wir mal die Null aus dem Spiel und betrachten der Einfachheit halber ein Roulettespiel bei dem die Null nicht vorhanden ist. Diese Zahl ist die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt T(0), dass zukünftig in Folge sechsmal rot fällt. Zum Zeitpunkt T(1) sei nun einmal rot gekommen. Der Spielausgang des ersten Spiels wird somit zu einem sicheren Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit ist 1. Wäre schwarz gekommen, so wäre die Möglichkeit dass sechsmal rot ab T(0) fällt zu einem unmöglichen Ereignis geworden. Die Wahrscheinlichkeit wäre 0, da eine schwarze Zahl sechsmal rot ab T(0) unmöglich macht.

Zum Zeitpunkt T(1) ist also die Wahrscheinlichkeit ab dem Zeitpunkt T(0) ein sechsmaliges rot zu erhalten so:
bei 1x rot: 1 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 3,125 %
bei 1x schwarz: 0 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 0,0 %

Zum Zeitpunkt T(2) ist also die Wahrscheinlichkeit ab dem Zeitpunkt T(0) ein sechsmaliges rot zu erhalten so:
bei rot,rot: 1 * 1 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 6,25 %
bei schwarz,schwarz: 0 * 0 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 0 %
bei rot,schwarz: 1 * 0 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 0 %
bei schwarz,rot: 0 * 1 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 0 %

Führt man die Reihe fort, sieht man unmittelbar, zum Zeitpunkt T(5) ist die Wahrscheinlichkeit nachdem bereits fünfmal rot erschienen ist:
bei 5x rot: 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1/2 = 50 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass im nächsten Spiel rot fällt ist also zum Zeitpunkt T(5) = 50%. Für den Roulettespieler, der ja von Spiel zu Spiel neu entscheidet, besteht also gar kein Grund die Vergangenheit zu betrachten und seine Wahl von den vorhergehenden Spielen abhängig zu machen. Diese sind ja bereits eingetreten und somit zu einem sicheren Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1 geworden. Es ist aber nicht immer einfach diese Zusammenhänge zu sehen, weshalb es sicherlich Roulettespieler geben wird, die sich so wie oben zitiert verhalten. Eine ganze Industrie lebt schließlich davon.