[Frage] Wahrscheinlichkeitsspiel - wie ist die Lösung ?

[Volume Z]

Wie vermeidet ihr, dass der Fall "Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 2 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 3 passt an Tür 1" (0,0,1) zugleich das Resultat "Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 2 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 3 passt nicht an Tür 2" (0,0,0) liefert?

 

[simpsonsfan]

Angenommen, ich habe bereits erfolglos Schlüssel 1 an Tür 1 probiert und Schlüssel 2 erfolglos an Tür 1 probiert. bis hierhin also (0,0,?)
Dann weiß ich mit Sicherheit, dass Schlüssel 3 Zu Tür 1 passt. Das Schlüsselwort lautet hier "optimale Wahl". Wenn wir diese voraussetzen, so wird in dieser Situation der dritte Schlüssel mit hundert prozentiger Wahrscheinlichkeit passen. Ignoriere ich die bereits gewonnene Information, so kann (0,0,?) selbstverständlich auch zu (0,0,0) werden.

 

[Volume Z]

Du musst Dich aber zwischen (0,0,0) und (0,0,1) entscheiden. Euer Modell in Beitrag 2 sieht kein (0,0,?) vor.

 

[simpsonsfan]

Richtig, das Fragezeichen ist nicht vorgesehen. Allerdings entscheide grundsätzich nicht ich, sondern der Zufall.
Unter der Prämisse, dass ich bei Nicht-Passen des ersten Schlüssels die selbe Tür noch mal versuche, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass der unvollendete Fall (0,0,?) beim Einstecken des dritten Schlüssels zu (0,0,1) wandelt, bei optimaler Wahl der nächsten Tür (und ich kann sie optimal wählen, da ich aus den vorhergehenden Versuchen Informationen gewonnen habe) allerdings bei 1.

Ich hab das auch als Zustandsbaum aufgezeichnet, wenn du willst, scanne ich das auch mal noch ein.

Edit: Der Fall (0,0,0) wird insofern niemals auftreten, da ich es immer besser weiß, als den dritten Schlüssel in die falsche Tür zu stecken.
Würde ich allerdings nach einem ersten Misserfolg den zweiten Schlüssel immer in eine der anderen beiden Türen stecken, so könnte der Fall (0,0,0) trotz optimaler Wahl auftreten. Bei dieser Wahl (immer eine andere Tür als beim ersten mal) würde dafür dann bei optimaler Wahl der Fall (0,1,0) nicht auftreten.

 

[Volume Z]

Du musst Dich entscheiden, ob hier (0,0,0) oder (0,0,1) vorliegt.

 

[simpsonsfan]

Ob wo was vorliegt? Wie du selbst schreibst:
"Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 2 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 3 passt an Tür 1" ist (0,0,1)
"Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 2 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 3 passt nicht an Tür 2" ist (0,0,0)

Das sind zwei verschiedene Fälle.

 

[Volume Z]

Ordne bitte den Fall

Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 2 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 3 passt an Tür 1

gleichbedeutend mit

Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 2 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 3 passt nicht an Tür 2

widerspruchsfrei einem der Szenarien

(1,1,1)
(0,1,1)
(0,0,1)
(0,0,0)
(1,0,1)
(0,1,0)

zu.

 

[simpsonsfan]

Die beiden Fälle sind aber nicht gleichbedeutend. Die sind verschieden. Einer ist (0,0,1), der andere (0,0,0,).

Zwei verschiedene Fälle.

 

[Volume Z]

Es sind also zwei verschiedene Fälle, dass Schlüssel 3 an Tür 1 passt, nicht aber an Tür 2.

 

[simpsonsfan]

Es sind zwei verschiedene Fälle, weil ich einmal Schlüssel 3 in Tür 1 gesteckt habe und einmal in Tür 2, also ja.

Ergänzung (8. Dezember 2015)

Dafür sind bspw. die Elementarereignisse
"Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 2 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 3 passt an Tür 1"
und
"Schlüssel 1 passt nicht an Tür 2, Schlüssel 2 passt nicht an Tür 1, Schlüssel 3 passt an Tür 1"
im gleichen Fall - nämlich (0,0,1)

 

[Volume Z]

Wenn es ein Widerspruch ist, dass Schlüssel 3 in Tür 1 passt, nicht aber in Tür 2, ist es dann folgerichtig, dass Schlüssel 3 in Tür 1 passt und in Tür 2?

 

[simpsonsfan]

Es ist kein Wirdespruch, dass ein Schlüssel in eine Tür passt und nicht in die andere, deine hypotetische Frage ist mir zu hoch. Ich verstehe sie nicht.

 

[Volume Z]

Wenn es ein Widerspruch ist, dass Schlüssel 3 in Tür 1 passt, nicht aber in Tür 2, ist es dann möglicherweise auch ein Widerspruch, dass Schlüssel 2 nicht in Tür 1 passt, aber in Tür 2 oder 3?

Allerdings entscheide grundsätzich nicht ich, sondern der Zufall.

Daran sieht man außerdem noch, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit steigt, wenn man die Sache logisch angeht bzw. geringer ist, wenn man jedesmal rein zufällig Türen auswählt.

 

[simpsonsfan]

Du hast wieder mal nicht gelelesn, dass ich geschrieben habe, dass es sich nicht um einen Widerspruch handelt.

Was ist daran so schwer zu verstehen, dass die Fälle die Wahl der Türen mit einschließt? Diese Wahl treffe ich. Der Zufall entscheidet dann, ob der Schlüssel zu der gewählten Tür passt. Wenn ich genug Informationen über die Tür-Schlüssel-Verteilung habe, kann es vorkommen, dass ich bspw. beim dritten Schlüssel bereits sicher weiß, wo dieser hingehört.

Du gehst absolut überhaupt nicht darauf ein, was ich dir in #70 geschrieben habe. Es deswegen zwei verchiedene Fälle, weil ich bei vllt. zufällig gleicher Schlüssel-Tür-Verteilung verschiedene Türen öffne, und so nur eine unterschiedliche Anzahl an Türen öffne.

Da du so fixiert darauf zu sein scheinst, dass die Schlüssel-Tür-Verteilung bei zwei Fällen gleich sein soll, hier noch mal der Unterschied der beiden von dir aufgeführten Beispielfälle.

Also: nehmen wir an, die Schlüssel-Schloss-Verteilung liegt in beiden unteren Beispielen folgendermaßen: grüner Schlüssel->rechte Tür,blauer Schlüssel->mittlere Tür, roter Schlüssel->linke Tür.

(0,0,1):
Ich nehme zuerst den grünen Schlüssel und teste ihn an der linken Tür. Er passt nicht. Ich nehme nun den blauen Schlüssel und teste ihn an der linken Tür. Er passt nicht. Ich nehme nun den roten Schlüssel und teste ihn an der linken Tür. Er passt.
(0,0,0):
Ich nehme zuerst den grünen Schlüssel und teste ihn an der linken Tür. Er passt nicht. Ich nehme nun den blauen Schlüssel und teste ihn an der linken Tür. Er passt nicht. Ich nehme nun den roten Schlüssel und teste ihn an der mittleren Tür. Er passt nicht.

Siehst du den Unterschied? Beides mal ist die Schlüssel-Tür-Verteilung gleich, aber ich habe einfach nur andere Türen versucht.
Dabei ist mir eigentlich aber die Schlüssel-Tür-Verteilung ganz egal, denn in der Notation steht eine 1 ja immer nur für "der gewählte Schlüssel passt an der Tür, an der er getestet wurde."

 

[gh0]

Was diskutiert ihr eigentlich? Wenn in Tür 1 (egal welche der dreien das ist) und Schlüssel 1 nicht passt, verschwindet von Zauberhand die Tür UND der Schlüssel. Du kannst also keinen weiteren Schlüssel an Tür 1 ausprobieren, da Tür 1 weg ist.

 

[simpsonsfan]

gh0, och wir diskutieren halt hier vor uns hin, bis es irgendeinem Mod zu bunt wird und der Thread dichtgemacht wird.

Außerdem diskutieren wir mittlerweile den Fall, den der TE ausdrücklich ausgeschlossen hat, nämlich, dass ich eine fehlerhaft versuchte Tür mit dem nächsten Schlüssel nochmal versuchen kann.
Volume vertritt/vertrat nämlich die Ansicht, dass hallo7 und ich den Fall ganz anders aufgefasst hätten, als wir es schrieben.
Die letzten Posts drehen sich also wie gesagt um die Aufgabe unter der ursprünglichen Auffassung von hallo7 und mir und außerdem schreiben Volume Z und ich irgendwie auch aneinander vorbei.

Mir geht es dabei auch darum, dass Volume eine andere Herangehensweise inkl. anderer Notation verwendet, sie aber mir nicht erklärenn will und gleichzeitig die Erklärungen für meine Herangehensweise gekonnt überliest :-)

Letztlich ist das alles nicht wichtig, aber ein bisschen Diskussion schadet ja nicht. Noch bin ich dieses Threads nicht überdrüssig (fragt sich nur, wie lange noch)

 

[Volume Z]

dass hallo7 und ich den Fall ganz anders aufgefasst hätten, als wir es schrieben.

Habe ich von Dir nie behauptet und bei hallo inzwischen verstanden.

dass Volume eine andere Herangehensweise inkl. anderer Notation verwendet

Ich unternehme Versuche, Dir deine eigene Notation incl. ihrer Widersprüche zu erklären, weil sie den von eurem Modell geschaffenen Szenarien nicht gerecht wird. Es braucht vom TE nicht eigens angeführt zu werden, dass jede Tür nur einmal zur Verfügung steht. Es versteht sich von selbst. In eurem Modell herrscht Beliebigkeit, Ununterscheidbarkeit und untaugliche Notation. Ihr könnt keine Wahrscheinlichkeiten angeben, weil jeder Fall durch einen anderen ersetzbar ist. Immerhin kommt ihr beide höchst plausibel zu verschiedenen Wahrscheinlichkeitsangaben für (0,1,1). Liegt daran, dass beide richtig sind. Bei Dir soll es auch noch von einer Bedingung abhängen. Du triffst in Deinem Modell nicht nur Entscheidungen ohne Ende, und hast gleichzeitig die Stirn, dies zu verneinen, sondern kalkulierst diese Entscheidungen durch. Es wird langsam Zeit, dass Du Dich im oben angeführten Fall "Schlüssel 3 passt an Tür 1" zwischen (0,0,0) und (0,0,1) entscheidest, denn es ist eine Entscheidung, und dadurch wird die Willkür in euer Modell gebracht. Es ist nicht der Zufall, der Dir die Wahl zwischen Tür 2 und Tür 1 vorschreibt.

 

[simpsonsfan]

Stimmt, das hast du bei mir nie gesagt, entschuldigung, das habe ich falsch geschrieben.
Ich widerspreche allerdings entschieden, dass es sich von selbst verstünde, dass eine Tür nach einem fehlerhaften Versuch nicht mehr zur Verfügung wäre. Es stand da, dass jeder Schlüssel nur einmal verwendet werden durfte, nicht, dass jede Tür nur einmal verwendet werden durfte.
Und meine Fälle sind nicht ersetzbar, es gibt mehrere Verteilungen, die ein und denselben Fall erzeugen, deshalb sind die Fälle aber noch lange nicht untereindander ersetzbar.
Meine Notation brauchst du mir übrigens nicht erklären, die kenne ich selbst.
"Schlüssel 3 passt an Tür 1" ist bei mir übrigens kein Fall. Wie gesagt, der Fall entsteht erst dann wenn die Türen getestet wurden.

Was ist daran so schwer zu verstehen, dass meine Fälle das Öffnen bzw. die Öffnungsversuche miteinbeziehen.
Wenn ich das richtig sehe, sind hallo7 und ich übrigens beide auf eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 für den Fall (0,1,1) gekommen

Spoiler: die Wahrscheinlichkeiten für alle 7 möglichen Fälle belaufen sich damit übrigens auf:

(1,1,1) - 1/6
(1,0,1) - 1/6
(1,0,0) - 0
(0,1,1) - 1/6
(0,1,0) - 1/6
(0,0,1) - 1/3
(0,0,0) - 0

Spoiler: und wenn ich nach erfolglosem Erstversuch immer eine der beiden anderen Türen öffne, wird daraus:

(1,1,1) - 1/6
(1,0,1) - 1/6
(1,0,0) - 0
(0,1,1) - 1/6
(0,1,0) - 0
(0,0,1) - 1/6
(0,0,0) - 1/3

Die Entscheidung, welche Tür ich wähle, fließt dabei mit in die Wahrscheinlichkeiten ein, das ist richtig. Allerdings nur an den Stellen, an denen ich die Türen mit dem vorher gewonnenen Wissen unterscheiden kann.

An der Stelle, an der es dazu kommt, ob nun (0,0,0) oder (0,0,1) auftritt, entscheide ich als Türöffner mich bewusst, die gleiche Tür wie in den vorherigen zwei Versuchen aufzumachen, somit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass unter der Voraussetzung von (0,0,?) der Fall (0,0,1) auftritt bei 1.
Das habe ich aber bereits auch so geschrieben.

 

[Volume Z]

Wenn ich das richtig sehe, sind hallo7 und ich übrigens beide auf eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 für den Fall (0,1,1) gekommen

mind. 2 richtige Schlüssel: (1,1,1), (1,0,1) und (0,1,1) passen. Also die Wahrscheinlichkeit:

1/3 * 1/2 * 1/1 + 1/3 * 1/2 * 1/1 + 2/3 * 1/3 * 1/2

die Wahrscheinlichkeiten für alle 7 möglichen Fälle belaufen sich damit übrigens auf:

...

(0,0,0) - 0

An der Stelle, an der es dazu kommt, ob nun (0,0,0) oder (0,0,1) auftritt, entscheide ich als Türöffner mich bewusst, die gleiche Tür wie in den vorherigen zwei Versuchen aufzumachen, somit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass unter der Voraussetzung von (0,0,?) der Fall (0,0,1) auftritt bei 1.
Das habe ich aber bereits auch so geschrieben.

Der Fall (0,0,0) wird insofern niemals auftreten

Damit hast Du hinreichend klargestellt, dass Fall (0,0,0) nicht auftreten kann.

Ich zähle mal alle Möglichkeiten auf, 1 heißt passt, 0 heißt passt nicht.

(1,1,1)
(0,1,1)
(0,0,1)
(0,0,0)
(1,0,1)
(0,1,0)

Die Möglichkeiten (1,0,0) und (1,1,0) lass ich mal weg, da wenn der erste passt und ich den zweiten falsch hab, weiß ich wo der dritte hingehört, sowie wenn ich 1 und 2 richtig habe muss 3 richtig sein, da keine andere Möglichkeit da ist

a) Wieso lässt hallo7 (1,0,0) weg, Du aber nicht?

b) Die Begründung für das Weglassen von (1,0,0) lautet: Ich weiß, wo der dritte hingehört. Du hast klargestellt, dass Du im Fall (0,0,?) genau weißt, wo der dritte hingehört. Wieso steht (0,0,1) in der Liste?

c) Wenn (0,0,0) nicht auftreten kann, wieso steht es bei euch beiden in der Liste?

 

[hallo7]

a) Wieso lässt hallo7 (1,0,0) weg, Du aber nicht?

Weil ich Fehler gemacht habe? Das trifft auch dauf die Berechnung zu, wie wir später festgestellt haben.