[Frage] Wahrscheinlichkeitsspiel - wie ist die Lösung ?

[Goatman]

Hallo Leute,

hab mal eine Frage, vielleicht kann mir jemand helfen...

Und zwar hat jemand im Freundeskreis uns eine Aufgabe gestellt... aber wie ist die Lösung ?

Aufgabe: man befindet sich in einem abgedunkeltem Zimmer.... man steht vor drei Ausgangstüren und hat drei passende Schlüssel... jeder Schlüssel passt aber nur in ein Türschloß und man darf jeden Schlüssel und jedes Türschloß nur einmal verwenden... da es dunkel ist, kann man folglich nix sehen, die Frage ist wiefolgt:

Aber bitte nicht meckern, wegen der Sinnhaftigkeit.. klar macht die Frage kaum Sinn... es geht nur ums rechnen...

1. Frage:
Wie wahrscheinlich ist es, dass man im dunkeln die 3 Schlüssel zufällig ins passende Schloß steckt ? Jeder Schlüssel und jedes Türschloß darf ja wie gesagt nur einmal verwendet werden. Ich würde sagen 33% oder wäre das falsch ?

2. Frage:
Wie wahrscheinlich ist es dass man 2 Schlüssel richtig reinsteckt/benutzt ?

Wie berechnet man sowas weiß das jemand ?

viele Grüße

Goatman


€dith: Aufgabe nochmal angepasst, da leider der wichtige Hinweis fehlte, das auch jedes Türschloß nur einmal verwendet werden darf Für das Versäumnis entschuldige ich mich bei allen ...

 

[hallo7]

1. Frage: 33% sind falsch, das wäre der Fall wenn du nur 1 Schlüssel auf 3 Türen hättest und die richtige finden müsstest. Du willst aber 3 Schlüssel in 3 Türen richtig setzen.

Also für den ersten Schlüssel hast du 1/3 Chance, für den zweiten 1/2 (1 Tür ist ja schon weg) und für den dritten 1/1 (nur mehr 1 Tür übrig). Das ergibt also 1/3 * 1/2 * 1 = 1/6 Wahrscheinlichkeit richtig zu liegen.

2. Frage

Ich zähle mal alle Möglichkeiten auf, 1 heißt passt, 0 heißt passt nicht.

(1,1,1)
(0,1,1)
(0,0,1)
(0,0,0)
(1,0,1)
(0,1,0)

Die Möglichkeiten (1,0,0) und (1,1,0) lass ich mal weg, da wenn der erste passt und ich den zweiten falsch hab, weiß ich wo der dritte hingehört, sowie wenn ich 1 und 2 richtig habe muss 3 richtig sein, da keine andere Möglichkeit da ist (außer ich verschluck den Schlüssel^^).

So jetzt kommts auf die Fragestellung an:

mind. 2 richtige Schlüssel: (1,1,1), (1,0,1) und (0,1,1) passen. Also die Wahrscheinlichkeit:

1/3 * 1/2 * 1/1 + 1/3 * 1/2 * 1/1 + 2/3 * 1/3 * 1/2 = 4/9

genau 2 Schlüssel richtig:

1/3 * 1/2 * 1/1 + 2/3 * 1/3 * 1/2 = 5/18

Allgemein:
Berechnungsmethoden findet man unter dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Stochastik.
Grundlage für Wahrscheinlichkeiten ist immer Anzahl günstige Ausgänge/Anzahl mögliche Ausgänge.

 

[de la Cruz]

@7, Dein Ansatz ist nur richtig, wenn an jeder Tür der richtige Schlüssel gefunden wird !

Zutreffend ist, dass Du an der ersten Tür für den ersten Schlüssel eine 33,33 % Chance hast, den richtigen Schlüssel zu finden; an der zweiten Tür aber hast Du eine 50 prozentige Chance, den richtigen Schlüssel zu finden nur dann, wenn Du an der ersten Tür den Schlüssel gefunden hättest !

Hast Du ihn aber an der ersten Tür nicht nicht gefunden, dann hast Du nach wie vor drei Schlüssel, die an der zweiten Tür passen könnten, auch wenn Du nur noch zwei von diesen probieren darfst; an der dritten Tür schließlich hättest Du nur eine 100 % Chance, wenn Du für die beiden anderen Türen bereits jeweils die passenden Schlüssel gefunden hättest, falls nicht hättest Du aber entweder ein 50% Chance, wenn Du nur einen Schlüssel bereits gefunden hättest, und nach wie vor eine 33% Chance, wenn Du bisher keinen gefunden hättest !

Findest Du an der ersten Tür den Schlüssel nicht, dafür aber der zweiten Tür, dann hättest Du an der ersten 33%, an der zweiten 33% und an der dritten schließlich 50 % Die Wahrscheinlichkeit läge dann bei 1/18

Findest Du an der ersten den Schlüssel nicht und an der zweiten nicht, dann hättest Du an der ersten 33%, an der zweiten 33 % und an der dritten 33 %; hier läge die Wahrscheinlichkeit bei 1/27

 

[Volume Z]

Es ist so, wie hallo7 schreibt. Du ziehst Lose. Es gibt drei davon. Eines ist der Gewinn. Bei der ersten Ziehung ist die Chance 1 zu 3. Bei der zweiten Ziehung sind es immer noch insgesamt drei Lose, aber nur noch zwei in der Trommel, also 1 zu 2. Wenn bei der zweiten (vorletzten) Ziehung noch kein Gewinn dabei war, ist Dein Gewinn bei der letzten Ziehung sicher. Nur ein Los ist noch in der Trommel.

Die Schlüssel können auf nicht mehr als sechs verschiedene Arten aufgereiht werden.

1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1

wenn Du an der ersten Tür den Schlüssel gefunden hättest !

Wenn nicht, hast Du etwas gefunden, das an Tür 2 oder 3 passt.

Szenario 1: Schlüssel 1 passt an Tür 1. Schlüssel 2 passt an Tür 2. Notwendige Konsequenz: Schlüssel 3 passt an Tür 3.

Szenario 2: Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1. Schlüssel 2 passt an Tür 2. Notwendige Konsequenz: Schlüssel 3 passt nicht an Tür 3.

Szenario 3: Schlüssel 1 passt an Tür 1. Schlüssel 2 passt nicht an Tür 2. Notwendige Konsequenz: Schlüssel 3 passt nicht an Tür 3.

Szenario 4 + 5: Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1. Schlüssel 2 passt nicht an Tür 2. Schlüssel 3 passt nicht an Tür 3 - aber an Tür 1 oder 2.

Szenario 6: Schlüssel 1 passt nicht an Tür 1. Schlüssel 2 passt nicht an Tür 2. Schlüssel 3 passt an Tür 3.


Würde das Ergebnis liefern, dass die Wahrscheinlichkeit für 2 oder mehr passende Schlüssel identisch ist mit der von 3 passenden - 1/6.

genau 2 Schlüssel richtig:

Der Fall existiert nicht.

wenn ich 1 und 2 richtig habe muss 3 richtig sein, da keine andere Möglichkeit da ist

 

[Goatman]

Hallo Leute....

hey, so ausführliche Antworten zu so später Stunde... dafür danke ich Euch erstmal...

aaalsoooo wenn ich Euch richtig verstanden habe wäre erstmal die Antwort 2 = unwahrscheinlich, sprich NULL, weil es den Fall gar nicht gibt ?? Ich mein, stimmt, wenn 2 richtig sind, muss der dritte ja auch richtig sein, also ist die Antwort 0 oder ? (Oder 100% ? )

Antwort 1: da bin ich mir jetzt nicht sicher, weil Ihr da unterschiedlich geantwortet habt... wäre die Wahrscheinlichkeit demnach 1/27 ? Also wenn ich das in den Taschenrechner eingebe = 3,7% (1 durch 27) ?

 

[Volume Z]

Nö, 1/6. Es können nur sechs Fälle eintreten, von denen einer der gesuchte ist.

 

[Goatman]

Also Antwort 1 = 1/6 = 16%

Und Antwort 2 bleibt es bei 0 ?

oder wäre da die Antwort auch 1/6 ?

Weil Du sagst ja, den Fall 2 kann es garnicht geben, weil wenn 2 passen, ist der dritte auch richtig.... also es kann entweder nur einer passen oder alle drei...

In dem Fall würde ich sagen 2 = unwahrscheinlich also = 0 oder hab ich einen Denkfehler ?

 

[Volume Z]

Genau, Null. Der Fall "2 Schlüssel richtig, aber nicht mehr" kann gar nicht eintreten.

 

[Goatman]

Okay, also Null


Sagmal, wer denkt sich eigentlich solche Aufgaben aus ?

Dank Dir Volume Z und den anderen beiden natürlich auch (de la Cruz und hallo7)


Euch einen schönen Tag noch

viele Grüße

Goatman

 

[moquai]

Sagmal, wer denkt sich eigentlich solche Aufgaben aus ?

Die Person, die auch mit 3 Ziegen Gassi geht.

 

[simpsonsfan]

"Der Fall genau zwei Schlüssel richtig existiert nicht"?
Das sehe ich anders. Aufgrund der Aufgabenstellung, dass man nur einen Versuch hat, den Schlüssel einzustecken.

Und zwar sind das die beiden von hallo aufgezählten Fälle (1,0,1) und (0,1,1), also
-erster Versuch, einen Schlüssel einzustecken geglückt, zweiter nicht, daraus folgt dann aus der Logik, dass ich weiß, dass der dritte Schlüssel in die selbe Tür kommt, die ich mit dem zweiten Schlüssel schon probiert habe. Ich weiß auch, wo der zweite hingehört hätte, nur ist der ja schon verbraucht.
-erster Versuch falsch, also Versuche ich mein Glück möglichst bei der selben Türe erneut (weil dann ja hier die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Schlüssel passt, von 1/3 auf 1/2 steigt - und für die anderen beiden Türen auf je 1/4 sinkt^^Ziegenproblem) - Ich hatte beim zweiten mal Erfolg und treffe nun also noch mit meinem letzten Schlüssel mit 50%-Wahrscheinlichkeit die richtige der beiden verbleibenden Türen.

Daran sieht man außerdem noch, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit steigt, wenn man die Sache logisch angeht bzw. geringer ist, wenn man jedesmal rein zufällig Türen auswählt.

 

[hallo7]

Ich seh das auch so wie simpsonsfan, der Fall mit "genau zwei Schlüssel richtig" existiert schon, da ja der TE gesagt hat, dass man jeden Schlüssel nur einmal verwenden darf.

@de la cruz: Hab ich das nicht abgebildet? Im ersten Fall müssen alle Schlüssel richtig gefunden werden, also brauch ich nur diese Wahrscheinlichkeit berücksichtigen. Ist der erste falsch, kann ich nicht mehr alle 3 richtig haben (ist ja ein Ziehen ohne zurücklegen).

Im zweiten Fall, hab ich die Fehlerwahrscheinlichkeit bei den Fällen mitgenommen. 2/3 ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schlüssel nicht passt. Danach hab ich noch 2 Schlüssel für 3 Türen und nach meiner Logik wieder 1/3 den richtigen zu finden und dann 1/2 für den letzten. Es gibt da auch eine Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten, aber kommt die nicht auf das selbe?

Das Ziegenproblem seh ich hier nicht ganz, vielleicht könnte das jemand erläutern?

 

[simpsonsfan]

Es ist auch nicht ganz das Ziegenproblem, hat aber eine Ähnlichkeit. Worauf ich nämlich hinaus wollte ist, dass ich in dem Fall (0,1,1) ja nach dem ersten Versuch weiß, dass eine der anderen zwei Türen auf den bereits verbrauchten Schlüssel passt.
Das heißt der nächste Schlüssel passt entweder in die gerade probierte Türe, oder aber in die der anderen beiden Türen, die nicht zu dem ersten, bereits verbrauchten Schlüssel gehört. Also liegt die Chance 50:50 zwischen der gerade versuchten Tür und "die der anderen beiden Türen, die nicht zu dem ersten, bereits verbrauchten Schlüssel gehört" (während die Chance für "die der anderen beiden Türen, die (!) zu dem ersten, bereits verbrauchten Schlüssel gehört" bei 0 liegt.)
Da ich allerdings nicht weiß, welche der beiden anderen Türen zum verbrauchten Schlüssel gehört und welche nicht, teilen sich die beiden Türen die 50%-Wahrscheinlichkeit, mit 25% für jede.
Wähle ich allerdings die beim ersten mal versuchte Tür erneut, habe ich 50% Erfolgswahrscheinlichkeit.

Somit ändert sich die Wahrscheinlichkeit für den Fall (0,1,1), sofern bei der zweiten Wahl die erste Tür nochmal probiert wird auf:

2/3 * 1/2 * 1/2 = 1/6.

 

[hallo7]

Danke! Das ergibt Sinn und ist schön erklärt

 

[Goatman]

aaaahhh coole weitere Erklärungen, vielen Dank... die werde ich mir nochmal kopieren und nochmal durchlesen, damit ich es voll verstehe und nachvollziehen kann... also bleibt es nachwievor soo:

Antwort 1: 1/6tel
Antwort 2: NULL weil nicht möglich...

Ehmm... was hat es denn mit der Ziege aufsich ? Wie ist denn da die Aufgabenstellung ?

Wo wir gerade dabei sind.... erzählt doch mal bitte den Fall...

p.s.: aber mal Hand aufs Herz: man liest sich anfang einfach durch und denkt, ganz einfach, aber in Wahrheit kann das ganz schön kompliziert werden...

 

[hallo7]

Antwort 2: NULL weil nicht möglich...

Das stimmt nicht

Antwort 2 ist auch 1/3 , wie simpsonsfan erklärt hat (für den Fall, dass genau 2 Schlüssel passend gefunden werden müssen). Es gibt den Fall, da du gesagt hast wir dürfen jeden Schlüssel nur einmal verwenden.

 

[simpsonsfan]

Ziegenproblem.

Offenbar bist du noch nicht dazu gekommen, die Antworten ab #11 ganz durchzulesen.

Jedenfalls sind ich und hallo7 der Meinung, dass der Fall 2 sehr wohl existiert.
@ #16 da hast du jetzt noch den anderen Fall (1,0,1) vergessen, der hat nach wie vor auch 1/3 * 1/2 * 1/1=1/6.
Somit also Antwort zwei: Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Schlüssel richtig sind liegt unter Voraussetzung der jeweils optimalen Wahl bei 1/3.

 

[Volume Z]

Versuche ich mein Glück

Welches Glück? Wenn dieses Spiel beendet ("gewonnen") sein soll, wenn irgendein Schlüssel passt, wird nie mehr als ein Schlüssel passen und die Wahrscheinlichkeit für drei passende Schlüssel sinkt ebenfalls auf Null, während sie für zwei passende Schlüssel bei Null bleibt.

Gemäß Aufgabenstellung werden stets alle 3 Türen durchprobiert. Wenn entgegen dieses Prinzips Dein Schlüssel 2 im zweiten Anlauf an Tür 1 passt und dann Schlüssel 3 an Tür 2, passt notwendigerweise Schlüssel 1 an Tür 3, und es passen wieder nicht 2, sondern 3 Schlüssel. Passt Schlüssel 3 nicht an Tür 2, dann passt Schlüssel 1 auch nicht an Tür 3 und es passt wieder nur 1 Schlüssel.

Jedenfalls sind ich und hallo7 der Meinung, dass der Fall 2 sehr wohl existiert.

Entschuldigt mal bitte:

wenn ich 1 und 2 richtig habe muss 3 richtig sein, da keine andere Möglichkeit da ist

Gruß, VZ

 

[hallo7]

Gemäß Aufgabenstellung werden stets alle 3 Türen durchprobiert.

Nein? Wieso denn das... Man probiert für jeden Schlüssel eine Tür. Liegt man falsch ist der Schlüssel weg. Somit gibt es auch die Möglichkeit, dass du alle 3 Schlüssel nur an einer Tür versuchst. Fall (0,0,1).

Man kann mit jedem Schlüssel jede Türe wählen (grundsätzlich) und wenn Schlüssel 1 weg ist, interessiert mich nicht mehr, wo dieser gepasst hätte. Ich hab damit aber Informationen für Schlüssel 2 und 3 gewonnen.
Wenn also Schlüssel 1 an Tür 1 nicht passt ist es gut, wenn ich Schlüssel 2 an Tür 1 versuche, da ich hier eine 50%ige Wahrscheinlichkeit hab, dass er passt. Passt dieser auch, hab ich für Schlüssel 3 wieder eine 50% ige Wahrscheinlichkeit das er an Tür 2 oder Tür 3 passt (da ist dann egal welche ich nehme).

Tritt das ein, hab ich genau 2 passende Schlüssel gefunden. (genau 2 passen, heißt nicht, dass es für Schlüssel 1 kein passendes Schloss gegeben hätte, sondern das ich genau 2 passende finde. Vielleicht ist hier der Denkfehler?)

Passt Schlüssel 2 an Tür 1 ebenfalls nicht, dann muss ich Schlüssel 3 an Tür 1 verwenden, da dieser 100%ig passt

 

[simpsonsfan]

@Volume Z
Du liest aus der Ausgabe, dass stets alle 3 Türen durchprobiert werden.
Ich lese heraus, dass ich nur alle drei Schlüssel durchprobiere, nicht notwendigerweise alle drei Türen. Ich darf dabei einzig keinen Schlüssel ein zweites mal testen (weil er danach weg ist / ungültig ist / aus Gründen, die der Aufgabensteller vorgibt)
Ich kann also auch einen Schlüssel in eine beliebige Tür stecken - falsch liegen, den nächsten Schlüssel in eine beliebige Tür stecken, wieder falsch liegen und auch den letzten Schlüssel noch in eine beliebige Tür stecken - und immer noch falsch liegen.

Wenn ich dich richtig verstehe, wird bei dir mit dem Schlüssel jedesmal auch die vesuchte Tür "verbraucht". Das sind aber einfach zwei unterschiedliche Auffassungen der Aufgabe.
Bis dato bin ich von meiner Auffassung überzeugt.