[Frage] Wahrscheinlichkeitsspiel - wie ist die Lösung ?

[Volume Z]

Deswegen stecke ich "Schlüssel 3" dann halt auch in "Tür 1" und schon habe ich genau zwei Türen mit dem passenden Schlüssel geöffnet.

HAAAA das ist mir auch gerade eingefallen. Du kehrst zurück zu Tür 1.

Ich kann, ja muss, mir damit (0,1,1) vorstellen als

(0
   1
 1)

Problem: Ich kann, ja muss,

(0
   
 1)

schreiben können als

(0
 0
 1)

Konsequenz:

(0,1,1)
=

(0
   1
 1)

=

(0
 0
 1)

=

(0
 0,0)

= (0,0,0).

 

[hallo7]

Mit (0,1,1) = (0,0,1) setzt du die Wahrscheinlichkeit der beiden gleich oder wie ist das gemeint?

Es scheint wohl so, als ob die 1/6 Wahrscheinlichkeit ziemlich oft vorkommen würde
Wie es bei (0,0,0) mit der Ziegenlogik aussieht, weiß ich aber nicht.

Ich (und wohl auch simpsonfan) verwenden die Notation folgendermaßen:

Schlüssel 1 | Schlüssel 2 | Schlüssel 3
( 0 , 1 , 1 )

Mit 1 oder eben 0 als hat geöffnet bzw. nicht. Die Türen haben nichts mit unseren Tripletten/Klammerausdrücken/Vektoren (wie man es auch nennen mag^^) zu tun.

 

[Volume Z]

Der Beitrag ist gerade erst fertig geworden. Ist musste zig Umbrüche einbauen.

 

[simpsonsfan]

Ok. Bedeutet jetzt das Leerzeichen in deinem ersten Schnipsel, dass quasi zuerst (erfolgos) die linke Tür mit dem ersten Schlüssel versucht wird, dann die mittlere Tür mit dem zweiten Schlüssel (erfolgreich) und dann noch die linke Tür mit dem dritten Schlüssel (erfolgreich)?
Dem würde ich zustimmen, dass dies eine Möglichkeit ist (ein Elementarereignis), den Fall (0,1,1) zu erreichen. Unter dieser Notation wären dann nämlich die anderen Möglichkeiten, die den Fall (0,1,1) erzeugen folgende:

Spoiler: Die 12 Elementarereignisse, die den Fall (0,1,1) darstellen

Die zeilen stehen dabei für die zeitliche Abfolge der getesteten Schlüssel, die Spalten für die Türposition (links, rechts, mittel)
0 steht für einen erfolglosen Öffnungsversuch, 1 für einen Erfolgreichen.

bereits von dir aufgeführt:

0--
-1-
1--

weitere Elementarerignisse aus dem Fall(0,1,1):

0--
--1
1--

0--
1--
-1-

0--
1--
--1

-0-
1--
-1-

-0-
--1
-1-

-0-
-1-
1--

-0-
-1-
--1

--0
1--
--1

--0
-1-
--1

--0
--1
1--

--0
--1
-1-

Nur, wenn ich jeden einzelnen Fall so aufliste, dann kommt man ja zu nichts. Daher die Zusammenfassung in den Fällen, wo dann nicht mehr nach Tür unteschieden werden muss sondern nur noch nach Schlüssel.

Was meinst du damit, dass man

(0

1)

als

(0
0
1)

schreiben können muss? Daraus werde ich grade nicht schlau.

@hallo7 Jep, so verwende ich das auch. Es geht nur darum, ob der Schlüssel etwas geöffnet hat oder nicht - welche Tür ist mir dabei egal.

 

[Volume Z]

Die Ausgangssituation lautet: Schlüssel 1 passt an Tür 3, Schlüssel 2 an Tür 2 und Schlüssel 3 an Tür 1.

Der Versuch mit Schlüssel 1 an Tür 1 liefert 0. Je nachdem, wie Du gerade aufgelegt bist, erzeugst Du jetzt durch Versuch von Schlüssel 2 an Tür 2 und Schlüssel 3 an Tür 3 das Szenario (0,1,0), oder aber durch Versuch von Schlüssel 2 an Tür 1 sowie Schlüssel 3 an Tür 1 (0,0,1), oder aber durch Versuch von Schlüssel 2 an Tür 2 und Schlüssel 3 an Tür 1 (0,1,1). Es liegt also in deinem Belieben, aus der Ausgangssituation drei verschiedene Szenarien zu generieren, wodurch deren Ununterscheidbarkeit unter Beweis gestellt ist. In eurem Modell können keinerlei Aussagen getroffen werden, weil 0 zu 1 werden kann und damit passend zu nicht passend.

 

[simpsonsfan]

Das sehe ich anders. Die Szenarien sind unterscheidbar. Und zwar je nach dem, welche Tür gewählt wird.
Damit kann auch 0 nicht zu 1 werden oder umgekehrt. Die 0 oder die 1 entsteht (bei gegebener Schlüssel-Tür-Verteilung) schließlich erst mit der Wahl einer Tür und ist von da an fest.
Du beschreibst da oben eben aus meiner Sicht drei verschiedene Fälle, für die ich getrennt die Wahrscheinlichkeiten aufstelle. Allerdings erfasse ich bei meinen Fällen jeweils mehrere Tür-Schlüssel-Verteilungen in einem Fall.
Die Wahl der Türen beeinflusst dabei die Wahrscheinlichkeiten der Fälle, weshalb bei bewusster Wahl der Türen bspw. auch die Wahscheinlichkeit, nach dem Fall (0,?,?) eingetreten ist Fall (0,1,1) zu erreichen gegenüber einer zufälligen Wahl aus allen jeweils vorhandenen Möglichkeiten - man könnte hier auch sagen, dass durch die Informationen, die bei den ersten Versuchen gewonnen werden, eine bestimmte Tür bei der Wahl ausgeschlossen werden kann und daher die Wahrscheinlichkeit auf einen Treffer steigt.

 

[gh0]

Es gibt für jede Tür und jedes Szenario eine andere Wahrscheinlichkeit

Tür 1 - 3 mögliche Schlüssel, 1 Tür : 33%
Tür 2 - 2 mögliche Schlüssel, 1 Tür : 33% (warum? Du hast nur noch 2 Schlüssel, weißt aber dass Schlüssel 1 den du nicht mehr benutzen darfst zu Tür 2 oder 3 passen wird - d.h. du musst den nicht nutzbaren Schlüssel dazu rechnen - 1 Tür 3 Schlüssel - die Wahrscheinlichkeit die Tür auf zu bekommen bleibt also bestehen.)
Tür 3 - verhält sich anders. Du hast schließlich nur noch einen Schlüssel. Entweder er passt, oder nicht. : 50%
Wahrscheinlichkeit.

Anders, wenn Schlüssel 1 bei Tür 1 passt und Schlüssel 2 bei Tür 2 nicht.

Tür 1 - immer noch 33% - Schlüssel passt, weiter zu Tür 2
Tür 2 - 50% - 2 Schlüssel, eine Tür - einer muss passen
Tür 3 - 0% - 1 Schlüssel, eine Tür - du weißt, Schlüssel 2 hätte Tür 3 geöffnet.


Wenn Schlüssel 1+2 gepasst haben, dann haben wir

Tür 1 - 33%
Tür 2 50 %
Tür 3 100%

 

[Volume Z]

Du kannst (0,0,0) nicht von (0,0,1) unterscheiden.

0,1,0
0,0,1
1,0,0

Ich habe immer das Recht, mich mit der Erhebung auf Tür 1 zu beschränken. Du willst ja völlig beliebig von dort weg oder wieder dorthin zurück, um Dein Szenario (0,1,1) zustandezubekommen. Ebensogut kann es mir einfallen, Schlüssel 1 und Schlüssel 2 an Tür 1 zu testen und Schlüssel 3 an Tür 2.

Also ist



Wenn ich das obige Quadrat auf den Rücken lege, stehen an jeder Stelle (a,b,c) drei Ziffern, und an jeder Stelle 0 und 1. Ihr wollt drei Ziffern in zwei Stellen quetschen und ggf. auch in nur eine.

 

[simpsonsfan]

Klar kann ich (0,0,0) von (0,0,1) unterscheiden. Im ersten Fall sind alle Türen verschlossen, im zweiten ist eine offen.
Konkret liegt der Unterschied in der Ziffer, die an der dritten Position steht. Wie du siehst, steht da bei (0,0,0) eine '0', bei (0,0,1) eine '1'. Ist also anders, d.h. unterscheidbar.

Was bedeuten deine 3 Zeilen

0,1,0
0,0,1
1,0,0

Bitte erkläre mir doch einmal deine Notation.

 

[Volume Z]

Erkläre Du mir Deine.

(0,1,1) soll bedeuten: Schlüssel 1 passt nicht, Schlüssel 2 passt, Schlüssel 3 passt. Wo? Hast Du eine Tür verwendet, zwei oder drei? Natürlich hast Du zwei Türen verwendet, aber wieso? Du hast keine Lust, immer genau 3 Türen zu verwenden. Dann habe ich keine Lust, mehr als eine Tür zu verwenden, schließlich hast Du mir das gestattet.

Wenn dein (0,1,1) nicht das (0 und 1,1, ) sein soll, das es in Wirklichkeit ist, dann ist mein

(0 und 0 und 1, , ), generiert ausschließlich an Tür 1, eben auch (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1), und dieses Resultat erziele ich bei jeder Erhebung. Der Fall (0,1,1) kann auch in Deinem Modell mit voller Berechtigung negiert werden.

 

[hallo7]

(0,1,1) soll bedeuten: Schlüssel 1 passt nicht, Schlüssel 2 passt, Schlüssel 3 passt. Wo? Hast Du eine Tür verwendet, zwei oder drei?

Es wurde die optimale Anzahl an Türen verwendet, ganz einfach. Die Türen an sich sind ja irrelevant. Man rechnet die Wahrscheinlichkeit bei optimalen Bedingungen aus. Auf der Annahme von optimalen Zuständen basiert nunmal die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

 

[Volume Z]

Wieviele Türen wurden für (1,0,0) verwendet?

 

[hallo7]

Wieviele Türen wurden für (1,0,0) verwendet?

3? Sonst bekommst du es nicht (sinnvoll) zusammen...

 

[Volume Z]

Du bekommst das mit einer Tür nicht sinnvoll zusammen?

 

[hallo7]

Du bekommst das mit einer Tür nicht sinnvoll zusammen?

Nein, da bereits geöffnete nicht nochmals verwendet werden sollten?

 

[Volume Z]

Wieviele Türen wurden dann notwendigerweise für (0,0,1) verwendet?

 

[hallo7]

Wieviele Türen wurden dann notwendigerweise für (0,0,1) verwendet?

1, 2 oder 3, je nachdem was die beste Wahrscheinlichkeit liefert. So wie es aussieht liefert eine Tür das beste Ergebnis, wobei bei 2 oder 3 verwendeten Türen durchaus das gleiche rauskommen kann, dann ist es aber egal.

 

[simpsonsfan]

Erkläre Du mir Deine.

Gerne. Obwohl ich das schon gemacht habe. Hast du das nicht gelesen?

Für die einzeilige Notation:

Die Tripel (1,1,1) usw. stehen dabei jeweils für "erster getester Schlüssel passt an der Tür, an der er getestet wurde; zweiter getester Schlüssel passt an der Tür, an der er getestet wurde; dritter getester Schlüssel passt an der Tür, an der er getestet wurde"

Und für die dreizeilige, die ich in Post #44 verwendet habe:

Die zeilen stehen dabei für die zeitliche Abfolge der getesteten Schlüssel, die Spalten für die Türposition (links, rechts, mittel)
0 steht für einen erfolglosen Öffnungsversuch, 1 für einen Erfolgreichen.

Wenn dein (0,1,1) nicht das (0 und 1,1, ) sein soll, das es in Wirklichkeit ist, dann ist mein

(0 und 0 und 1, , ), generiert ausschließlich an Tür 1, eben auch (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1)

Mein (0,1,1,) ist nach meiner Schreibweise sicher nicht (0 und 1,1, ), allein schon, weil das keine gültige Form nach meienr Schreibweise ist. Und wenn du eine andere Schreibweise verwenden magst, dann erkläre sie bitte.

Richtig ist, dass die drei Fälle (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) alle ein Ereignis enthalten, bei dem die linke Tür geöffnet ist, die anderen beiden nicht. Und zwar einmal beim ersten Versuch, einmal beim zweiten Versuch und einmal beim dritten.
Auch wenn der Fall (1,0,0) nur dann auftreten, wenn ich wider besseren Wissens den dritten Schlüssel absichtlich an der falschen Tür einstecke.

Beachte außerdem auch, dass wie von hallo7 erwähnt bei unserer Aufgabenauffassung (nicht der vom TE) zwar nicht geöffnete Türen noch zur Verfügung stehen, geöffnete Türen aber nicht erneut getestet werden können - da steckt ja schon der richtige Schlüssel bzw. die ist ja schon offen.

 

[Volume Z]

Bei (0,1,1) wurde die optimale Anzahl an Türen verwendet. Welche Anzahl ist bei (0,0,1) optimal?

 

[hallo7]

Bei (0,1,1) wurde die optimale Anzahl an Türen verwendet. Welche Anzahl ist bei (0,0,1) optimal?

Nur eine Tür: 2/3 für den ersten Schlüssel nicht zu öffnen. Damit weiß ich, das bei dieser Tür die WS für die restlichen 2 Schlüssel bei 1/2 liegt. Sperrt der 2te Schlüssel wieder nicht, weiß ich das genau diese Tür für Schlüssel 3 passt und ich bin fertig.

Also 2/3 * 1/2 * 1 = 1/3 WS, dass der Fall eintritt, wenn ich alle Schlüssel an nur einer Tür verwende.

2 Türen: 2/3 für den ersten Schlüssel. Jetzt wechsel ich die Tür für den 2ten Schlüssel, die WS das er bei der ersten Tür nicht passen würde bleibt allerdings bei 1/2, somit passt er mit 1/2 Wahrscheinlichkeit bei den beiden verbleibenden Türen nicht. Eine davon versuch ich und wenn Schlüssel 2 nicht passt, dann bleibt mir für Schlüssel 3 eine WS von 2/3 das er entweder an der Tür von Schlüssel 1 oder an der Tür vom Schlüssel 2 passt oder an der letzten Tür passt, da ich mit meinen Versuchen keine Informationen für Schlüssel 3 gewonnen habe. Wenn ich mich jetzt nicht vertu dann wären das:

2/3 * 3/4 * 2/3 = 1/3 somit wärs egal, ob ich 1 Tür oder 2 Türen verwende. (außer ich hab mich verrechnet, was durchaus sein kann)

Bei 3 Türen kommt das selbe raus, da ich eben keine Infos aus den ersten beiden Schlüsseln gewinnen kann und ich somit alle 3 Türen für den 3ten Schlüssel wählen kann. Kann mich in dieser Logik aber auch vertan haben, aber im Grunde läufts auf das hinaus.

Sollte die Rechnung richtig sein, ist die Anzahl der verwendeten Türen in dem Fall egal. (bin mir nicht sicher ob 3/4 oder 1/4)