Ausgehend von deinen Screenshots ist die Internetverbindung als solche funktionsfähig. Ping geht, DNS geht - sowohl am Router als auch direkt 8.8.8.8. Wenn eine Anwendung nun trotzdem keine Verbindung herstellen kann, dann ist da noch ein anderes Problem. Geblockte Ports in der Firewall am PC oder auch beim Provider zum Beispiel. Oder das Ziel, also der Server, hat ein Problem. Es kann auch sein, dass die Probleme nur kurzzeitig auftauchen und du sie mit punktuellen Pings/nslookups nicht erwischt hast.
Lass die Pings mal nebenher jeweils in einem separaten Fenster permanent laufen.
ping 192.168.2.1 -t
ping 8.8.8.8 -t
Dafür kannst du sonst auch Tools wie pingplotter o.ä. verwenden. Mit den Dauerpings wird einmal pro Sekunde geprüft ob die Netzwerk- bzw. Internetverbindung läuft. Wenn plötzlich alles steht, sollten die Pings vermutlich für eine Weile ins Leere laufen (timeout/Zeitüberschreitung).
Übrigens: Der Grund dafür, dass die Uni bei den nslookups teilweise auftaucht ist simpel. Die Uni ist vermutlich dein Provider, korrekt? Wenn du einen DNS-Request (nslookup) an den Router stellst, leitet der den Request standardmäßig an den DNS vom Provider weiter, der Uni. Bei mir zu Hause käme demnach standardmäßig der Telekom-DNS. Beim nslookup auf 8.8.8.8 fragt man direkt den google-dns und das geht wie jede andere Internetverbindung auch einfach nur durch das Provider-Netz durch, wird aber am Ende von google beantwortet.