Problem mit Substitution

[Daltimo]

Ich hab ein Problem mit der Substitution, deswegen wollte ich mal fragen auf welcher Seite ich das gut nachlesen kann? Ich stöbere nun schon eine Stunde im Internet und finde dazu nichts.
Bräuchte nur mal eine schöne Erklärung was ich Schritt für Schritt mache.
Ich habe für eine Aufgabe zwei Unterschiedliche Stammfunktionen heraus, einmal durch Substitution und einmal auf normalem Wege mit Hilfe der Integrationsregeln. Eigentlich kann es ja nicht sein, besser gesagt es geht nur um ein Vorzeichen....

 

[FlauschigesPony]

Dein Beispiel, bzw dein spezieller Problemfall ?

 

[Daltimo]

Ich habe bei der Substitution und bei meiner normalen Ableitung einen Vorzeichenfehler.
Ich verstehe eben diese Substitution nicht richtig....

 

[arterius]

Integral (l-x)²dx = -1/3*(l-x)³

 

[Daltimo]

Geau und ich versteh das minus vor dem 1/3 nicht, das ist mein Problem. Nachdem man die Grenzen einsetzt wird der Ausdruck ja wieder positiv, weil - mal - macht ja plus.

 

[arterius]

Das Minus kommt nicht von den Grenzen her, du musst die innere und äußere Ableitung betrachten.

Das Minus kommt vom -x.

 

[Daltimo]

Könntest du mir evtl das ganze in Formelausdrücken mal aufschreiben, also die ganze Subst. ich glaube langsam verstehe ich es.

 

[Götterwind]

Deine Schreibweise für die "fertigen" Integrale ist sehr seltsam, anstatt den Integral-S, mache das mal in eckige Klammern, oder was auch immer, aber nicht wieder mit dem S.

Wie schon arterius geschrieben hat, stimmt schon die erste Stammfunktion nicht... Leite das einfach mal ab

edit: Bei zweiten integralansatz noch schlimmer, wenn schon Substitution, dann auch unter dem Integral einsetzen und was ist mit den Grenzen?!

 

[Daltimo]

Sorry für die Schreibweise, war etwas umständlich mit Office, deswegen habe ich versucht es halbwegs anschaulich zu schreiben.

Stimmt, wenn ich es Ableite: Ableitung der äußeren Funktion mal Ableitung der unveränderten inneren Funktion mal Ableitung der Inneren Funktion komme ich auf die falsche Gleichung, deswegen muss das minus hin.

Super, ich danke euch schon mal, das ihr mich auf die richtige Idee gebracht habt. Jetzt ist es natürlich logisch das da ein Minus hin muss.

Allerdings komm ich mit dieser "scheiß" Substitution noch immer nicht zurecht und ich finde absolut nichts geeignetes im Internet.

 

[Götterwind]

Naja, so schwer ist es doch gar nicht... Hast du schon mal bei den Beispielen von Wiki mal nachgeschaut?

 

[FlauschigesPony]

Kurze Anmerkung: Schau mal dass du bei deinen Integralen immer dx hinter das Integrationszeichen mit hinschreibst. Dadurch vermeidest du nicht nur einen unnötigen Fehler in einer Klausur, denn ein Integrationszeichen ohne Integranden macht wenig Sinn, sondern auch wird die Substitutionsmethode dadurch wesentlich klarer, da es ein elementarer Bestandteil dieser Methode ist dx immer mit einem anderen infinitissimalen Element, zB mit du, zu ersetzen.

 

[Daltimo]

Naja, so schwer ist es doch gar nicht... Hast du schon mal bei den Beispielen von Wiki mal nachgeschaut?

Nein und so richtig schlüssig wird mir das ganze irgendwie auch nicht.

Kurze Anmerkung: Schau mal dass du bei deinen Integralen immer dx hinter das Integrationszeichen mit hinschreibst. Dadurch vermeidest du nicht nur einen unnötigen Fehler in einer Klausur, denn ein Integrationszeichen ohne Integranden macht wenig Sinn, sondern auch wird die Substitutionsmethode dadurch wesentlich klarer, da es ein elementarer Bestandteil dieser Methode ist dx immer mit einem anderen infinitissimalen Element, zB mit du, zu ersetzen.

Okay, danke! Ich hab selbst schon mitbekommen das meine Niederschrift auch die handschriftliche nicht gerade toll ist, daran muss ich noch etwas arbeiten.

Aber bin erstmal froh das ich das alles wieder so halbwegs hinbekomme, an der Sauberkeit muss ich noch arbeiten und mit der Substitution werde ich auch noch klar kommen.

Wo ein Wille ist, ist auch ein Weg!

 

[FlauschigesPony]

So schwer isses doch nicht. Sind im wesentlichen 5 Schritte.

Gesucht ist die Stammfunktion F(X) von f(x); deshalb gilt:

F(x)= S f(x) dx

1. Man suche sich eine Funktion h(u) aus:

x= h(u)
bzw
u=h^-1(x)

2. ableiten auf beiden Seiten ergibt:

dx= (dh(u)/du)*du

3.h(u) in f(x) eingesetzt und dx durch h(u) und du ausgedrückt ergibt sich:

F(x)= S f(h(u)) * (dh(u)/du)*du

Hier definiere ich, damit die nachfolgenden Ausdrücke leichter verständlich werden:

g(u)=f(h(u)) * (dh(u)/du)

dann hat man:

F(x) = S g(u) du

g(u) ist nun so weit wie möglich zu vereinfachen, damit das Integral leicht lösbar wird.

4. Nun integriert man nach u und erhält

F(x) = G(u)

5. Schliesslich drückt man u wieder durch x aus:

F(x) = G(h^-1(x))

und man ist fertig.


Das schwierigste dabei ist wohl h(u) passend auszuwählen, so dass das Integral vereinfacht wird. Hierfür braucht man einiges an Übung; wenn man jedoch Glück hat ist bei einer Substitutionsmethode in der Klausur diese Funktion angegeben.