DunklerRabe schrieb:
Was soll denn daran liniear sein, dass sich alle x-Zeiteinheiten halbiert?
Nach einem x sind noch 0,5y da. Noch ein x später sinds noch die Hälfte davon, also 0,25y.
Siehe diese simple Funktion (gezeichnet mit www.mathe-fa.de)
Wie muss man sich die Unendlichkeit vorstellen?
- Ersteller xeldon
- Erstellt am
Was soll denn daran liniear sein, dass sich alle x-Zeiteinheiten halbiert?
Nach einem x sind noch 0,5y da. Noch ein x später sinds noch die Hälfte davon, also 0,25y.
Siehe diese simple Funktion (gezeichnet mit www.mathe-fa.de)
Bei der Halbwertszeitaufgabe bzw. in der Praxis dabei ist es ja so, dass irgendwann nur noch 1 Atom übrig ist, und dann macht es "zack" und auch das letzte ist zerfallen.
Theoretisch dürfte das nicht passieren, weil ja nur das halbe Atom zerfallen würde, und das ist unmöglich.
Die Unendlichkeit ist theoretisch denkbar, wie im Beispiel oben mit der Zahlenreihe.
Darauf beruht auch die Vorstellung von pi, welches eine Transzendente Zahl sein soll.
Theoretisch ist sie dass, es gibt ja auch den Beweis dafür.
Nun haben allerdings Physiker rausgefunden, dass der Raum gequantelt ist.
D.h. es gibt eine Auflösungsgrenze bei es nicht mehr kleiner geht.
Nun ist meine Idee bzw. Schlussfolgerung, dass wenn der Raum in kleinste Einheiten unterteilt ist, es keinen perfekten Kreis geben kann. Daher ist pi nicht unendlich und auch nicht transzendent. Die Anzahl der Nachkommastellen bei pi müsste sich aus der Auflösung des Raumes ableitenlassen.
Theoretisch dürfte das nicht passieren, weil ja nur das halbe Atom zerfallen würde, und das ist unmöglich.
Die Unendlichkeit ist theoretisch denkbar, wie im Beispiel oben mit der Zahlenreihe.
Darauf beruht auch die Vorstellung von pi, welches eine Transzendente Zahl sein soll.
Theoretisch ist sie dass, es gibt ja auch den Beweis dafür.
Nun haben allerdings Physiker rausgefunden, dass der Raum gequantelt ist.
D.h. es gibt eine Auflösungsgrenze bei es nicht mehr kleiner geht.
Nun ist meine Idee bzw. Schlussfolgerung, dass wenn der Raum in kleinste Einheiten unterteilt ist, es keinen perfekten Kreis geben kann. Daher ist pi nicht unendlich und auch nicht transzendent. Die Anzahl der Nachkommastellen bei pi müsste sich aus der Auflösung des Raumes ableitenlassen.
Zenons Paradoxon von Achill und der Schildkröte
Der griechische Philosoph Zenon behauptete, der Läufer Achill könne kein Wettrennen gegen eine Schildkröte gewinnen, falls diese vor ihm einen gewissen Vorsprung habe.
Das Rennen war folgendermaßen charakterisiert:
Die Schildkröte bekommt 100 m Vorsprung vor Achill, der aber 10 mal so schnell laufen kann wie die Schildkröte. Hat Achill also die 100 m Vorsprung hinter sich gebracht und ist am Startpunkt der Schildkröte angelangt, so ist diese natürlich auch schon 10 m gelaufen. Achill läuft also auch noch diese 10 m, aber die Schildkröte ist ebenfalls 1 m weitergekommen. Führt man diese Logik fort, so dürfte Achill die Schildkröte niemals erreichen, denn immer wenn er am letzten Aufenthaltspunkt der Schildkröte angelangt ist, ist diese bereits ein Stück vorwärts gekommen ...
__________________
Kann Achill denn die Schildkröte nun tatsächlich nicht einholen??? Und was hat das mit Reihen zu tun???
Schauen wir uns einmal die Einzelstrecken an, die Achill zurücklegt, so ergibt sich die folgende Summe (hier in Metern):
100+10+1+0.1+0.01+0.001......
Diese Summe beschreibt eine Reihe und kann explizit so aufgeschrieben werden:
Nun ergibt sich die Frage nach dem Grenzwert dieser Reihe, denn je nachdem, wie dieser aussieht, hat Zenon Recht oder Unrecht. D.h. ist der Grenzwert unendlich, so wird Achill die Schildkröte in der Tat erst nach unendlich vielen Metern einholen. Konvergiert die Reihe dagegen gegen einen bestimmten Wert, so hat sich Zenon geirrt.
In diesem Beispiel ist es in der Tat so, dass die Reihe gegen einen Grenzwert konvergiert: Die aufzuaddierenden Glieder der Reihe werden immer kleiner und sind spätestens nach dem fünften Glied nicht mehr signifikant, d.h. sie verändern das Ergebnis kaum noch.
Addieren wir nun die ersten fünf Reihenglieder, so ergibt sich folgender Wert (in Meter):
100+10+1+0.1+0.01 = 111.11
Addieren wir weitere 10 Reihenglieder dazu, so ergibt dies folgenden Wert (in Meter):
100+10+1+0.1+0.01+....+0.000000000001 = 111.111111111111
Da dieser Wert sich nur minimal von dem ersten ermittelten unterscheidet, wird deutlich, dass bereits sehr früh ein relativ exakter Grenzwert abgeschätzt werden kann.
Zenon hatte also Unrecht mit seiner These. Sein Problem war, dass er von einem unendlich großen Grenzwert ausgegangen ist. Das ist hier, wie gezeigt, nicht der Fall, da die zu addierenden Zahlen immer kleiner werden.
Achill wird also die Schildkröte nach 111.111111111111... Metern Laufstrecke eingeholt haben!
Bei der hier vorgestellten Reihe handelt es sich um die geometrische Reihe.
Aber Vorsicht: Es gibt Reihen, bei denen die Glieder ebenfalls immer kleiner werden, die aber trotzdem einen unendlich großen Grenzwert haben. Das liegt daran, dass in diesem Fall die Reihenglieder "nicht schnell genug" schrumpfen und daher immer noch in wichtiger Weise zum Endergebnis beitragen.
Die Greccos die heute hauptsächlich für ihre Miesen bekannt sind, haben also tatsächlich ca. 2000 Jahre vor Newton/Leibniz die Infinitesimalrechnung erfunden (naja und noch etliche andere Sachen)
Der griechische Philosoph Zenon behauptete, der Läufer Achill könne kein Wettrennen gegen eine Schildkröte gewinnen, falls diese vor ihm einen gewissen Vorsprung habe.
Das Rennen war folgendermaßen charakterisiert:
Die Schildkröte bekommt 100 m Vorsprung vor Achill, der aber 10 mal so schnell laufen kann wie die Schildkröte. Hat Achill also die 100 m Vorsprung hinter sich gebracht und ist am Startpunkt der Schildkröte angelangt, so ist diese natürlich auch schon 10 m gelaufen. Achill läuft also auch noch diese 10 m, aber die Schildkröte ist ebenfalls 1 m weitergekommen. Führt man diese Logik fort, so dürfte Achill die Schildkröte niemals erreichen, denn immer wenn er am letzten Aufenthaltspunkt der Schildkröte angelangt ist, ist diese bereits ein Stück vorwärts gekommen ...
__________________
Kann Achill denn die Schildkröte nun tatsächlich nicht einholen??? Und was hat das mit Reihen zu tun???
Schauen wir uns einmal die Einzelstrecken an, die Achill zurücklegt, so ergibt sich die folgende Summe (hier in Metern):
100+10+1+0.1+0.01+0.001......
Diese Summe beschreibt eine Reihe und kann explizit so aufgeschrieben werden:
Code:
oo
-----
\ s
/ 100*(1/10)
-----
s=1Nun ergibt sich die Frage nach dem Grenzwert dieser Reihe, denn je nachdem, wie dieser aussieht, hat Zenon Recht oder Unrecht. D.h. ist der Grenzwert unendlich, so wird Achill die Schildkröte in der Tat erst nach unendlich vielen Metern einholen. Konvergiert die Reihe dagegen gegen einen bestimmten Wert, so hat sich Zenon geirrt.
In diesem Beispiel ist es in der Tat so, dass die Reihe gegen einen Grenzwert konvergiert: Die aufzuaddierenden Glieder der Reihe werden immer kleiner und sind spätestens nach dem fünften Glied nicht mehr signifikant, d.h. sie verändern das Ergebnis kaum noch.
Addieren wir nun die ersten fünf Reihenglieder, so ergibt sich folgender Wert (in Meter):
100+10+1+0.1+0.01 = 111.11
Addieren wir weitere 10 Reihenglieder dazu, so ergibt dies folgenden Wert (in Meter):
100+10+1+0.1+0.01+....+0.000000000001 = 111.111111111111
Da dieser Wert sich nur minimal von dem ersten ermittelten unterscheidet, wird deutlich, dass bereits sehr früh ein relativ exakter Grenzwert abgeschätzt werden kann.
Zenon hatte also Unrecht mit seiner These. Sein Problem war, dass er von einem unendlich großen Grenzwert ausgegangen ist. Das ist hier, wie gezeigt, nicht der Fall, da die zu addierenden Zahlen immer kleiner werden.
Achill wird also die Schildkröte nach 111.111111111111... Metern Laufstrecke eingeholt haben!
Bei der hier vorgestellten Reihe handelt es sich um die geometrische Reihe.
Aber Vorsicht: Es gibt Reihen, bei denen die Glieder ebenfalls immer kleiner werden, die aber trotzdem einen unendlich großen Grenzwert haben. Das liegt daran, dass in diesem Fall die Reihenglieder "nicht schnell genug" schrumpfen und daher immer noch in wichtiger Weise zum Endergebnis beitragen.
Die Greccos die heute hauptsächlich für ihre Miesen bekannt sind, haben also tatsächlich ca. 2000 Jahre vor Newton/Leibniz die Infinitesimalrechnung erfunden (naja und noch etliche andere Sachen)
Zuletzt bearbeitet:
Pelzameise
Sachse
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- Apr. 2008
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- 5.221
Er meinte den Rechtschreibfehler in der Signatur..... Kinder...
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@refri89: ein ähnliches Beispiel hat mein Mathelehrer auch vorgebracht. Das ist verständlich.
Wie sieht das konkret auf die Halbwertszeit oder auf eine andere exponentiell abnehmende Funktion bezogen aus?
Zuletzt bearbeitet:
Quelle:
/Loop-Quantengravitation
Das Interessante daran ist die Planck-Länge von 10^-35m:
0,000000000000000000000000000000000001m -> kleiner gehts nicht.
Das der Beweis bzgl. pi mathematisch klappt liegt an den Eigenschaften des Einheitskreises, der auf "1" basiert.
Daraus leite ich ab, dass in der Realität jeder Kreis in Abhängkeit seiner Größe sein eigenes pi hat.
/Loop-Quantengravitation
Das Interessante daran ist die Planck-Länge von 10^-35m:
0,000000000000000000000000000000000001m -> kleiner gehts nicht.
Das der Beweis bzgl. pi mathematisch klappt liegt an den Eigenschaften des Einheitskreises, der auf "1" basiert.
Daraus leite ich ab, dass in der Realität jeder Kreis in Abhängkeit seiner Größe sein eigenes pi hat.
NullPointer
Lt. Commander
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- 1.570
ViperTr99 schrieb:
Du gehst also davon aus, daß das Verhältnis von Kreisradius und -umfang nicht konstant ist? Na, wenn du das beweisen kannst, dann bekommst du nicht nur den Nobelpreis, sondern schrottest nebenher mindestens zwei Drittel der Mathematik, Physik und alles, was dranhängt
@Nullpointer:
ViperTr99 bezieht sich wohl eher darauf dass die Realität nicht beliebig zerlegbar ist, also aus diskreten Einheiten besteht und somit "sein eigenes Pi" hat. Das ist meiner Meinung nach aber völlig irrelevant, die mathematische Definition beruht nur bedingt auf der Realität - frei nach Kronecker: "Die natürlichen Zahlen sind etwas von Gott Geschaffenes, alles andere ist Menschenwerk. Die natürlichen Zahlen bedürfen also keiner weiteren Begründung."
Was hat bitte dieses Integral (was du da behauptest stimmt übrigens nicht) mit dem Grenzwert dieser geometrischen Reihe zu tun?!
@xeldon:
So nebenbei, du darfst nicht direkt mit der liegenden Acht als Zahl rechnen (falls nicht schon bemerkt). Sieh es als abstraktes Objekt an und suche kein kein Äquivalent in der (diskreten) Realität, das führt sehr schnell zu Konflikten. In den exakten Naturwissenschaften bedient man sich der Mathematik als grossartige Hilfe zur Modellierung gewisser Prozesse. Wie der Begriff Modell schon suggeriert muss aus der Gültigkeit für gewisse Grössenordnungen nicht direkt die Allgemeingültigkeit folgen.
ViperTr99 bezieht sich wohl eher darauf dass die Realität nicht beliebig zerlegbar ist, also aus diskreten Einheiten besteht und somit "sein eigenes Pi" hat. Das ist meiner Meinung nach aber völlig irrelevant, die mathematische Definition beruht nur bedingt auf der Realität - frei nach Kronecker: "Die natürlichen Zahlen sind etwas von Gott Geschaffenes, alles andere ist Menschenwerk. Die natürlichen Zahlen bedürfen also keiner weiteren Begründung."
CPUinside schrieb:
Was hat bitte dieses Integral (was du da behauptest stimmt übrigens nicht) mit dem Grenzwert dieser geometrischen Reihe zu tun?!
@xeldon:
So nebenbei, du darfst nicht direkt mit der liegenden Acht als Zahl rechnen (falls nicht schon bemerkt). Sieh es als abstraktes Objekt an und suche kein kein Äquivalent in der (diskreten) Realität, das führt sehr schnell zu Konflikten. In den exakten Naturwissenschaften bedient man sich der Mathematik als grossartige Hilfe zur Modellierung gewisser Prozesse. Wie der Begriff Modell schon suggeriert muss aus der Gültigkeit für gewisse Grössenordnungen nicht direkt die Allgemeingültigkeit folgen.
T
Twisted_River
Gast
CPUinside schrieb:
Als weiteres Beispiel gibt es: Summe aller 1/n für n: 1->unendlich, also 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... wächst ebenfalls über jede beliebige Grenze. Die einzelnen Elemente konvergieren "zu langsam" gegen Null und deshalb erreicht man keine (endliche) obere Grenze. Ich weiß noch den Gesichtsausdruck aller im Mathe-Unterricht, etwa so:
